Was sind statistische Kennzahlen?
In diesem Beitrag
- Was sind statistische Kennzahlen – und wozu braucht man sie?
- Lagemaße: Wo liegt die Mitte?
- Streuungsmaße: Wie weit liegen die Werte auseinander?
- Weitere Kennzahlen: Perzentile, z-Werte und Häufigkeiten
- Welche Kennzahl passt zu welchem Skalenniveau?
- Kennzahlen in der empirischen Abschlussarbeit: Was Sie beachten müssen
Was sind statistische Kennzahlen – und wozu braucht man sie?
Statistische Kennzahlen sind Maßzahlen, die eine Menge von Daten auf einen einzigen, aussagekräftigen Wert verdichten. Sie machen es möglich, Datensätze zu beschreiben, miteinander zu vergleichen und Entwicklungen sichtbar zu machen – ohne jeden einzelnen Messwert auflisten zu müssen.
Eurostat definiert statistische Indikatoren als zusammenfassende Maßzahlen, die mit einem Schlüsselthema oder Phänomen verbunden sind und aus beobachteten Fakten abgeleitet werden. Dabei korrigieren Kennzahlen häufig mindestens eine Dimension – etwa die Größe – um sinnvolle Vergleiche zwischen verschiedenen Gruppen, Zeitpunkten oder Populationen zu ermöglichen.
Für empirische Abschlussarbeiten bedeutet das: Statistische Kennzahlen sind kein Selbstzweck. Sie entfalten ihren Wert erst, wenn sie in einen Kontext eingebettet werden – mit Bezugsgröße, Zeitraum, Stichprobe und einer klaren Interpretation.
Lagemaße: Wo liegt die Mitte?
Die bekannteste Gruppe statistischer Kennzahlen sind die Lagemaße. Sie beschreiben den typischen oder zentralen Wert einer Verteilung. Die drei wichtigsten sind Mittelwert, Median und Modus.
Mittelwert (arithmetisches Mittel)
Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Beobachtungen. Er ist das am häufigsten berichtete Lagemaß in quantitativen Studien.
Formel: Arithmetischer Mittelwert
Der Mittelwert reagiert jedoch empfindlich auf Ausreißer. Ein einziger extremer Wert kann das Ergebnis erheblich verzerren. Wenn Ihre Stichprobe beispielsweise Einkommen enthält und eine Person ein Vielfaches des Durchschnittseinkommens verdient, wird der Mittelwert nach oben gezogen und gibt die typische Situation in Ihrer Stichprobe nicht mehr angemessen wieder.
Median
Der Median ist der mittlere Wert einer nach Größe sortierten Reihe. Er teilt die Verteilung exakt in zwei Hälften: 50 % der Werte liegen darunter, 50 % darüber. Der Median ist deutlich robuster gegenüber Ausreißern als der Mittelwert.
Der Leitfaden der University of Sydney zur deskriptiven Statistik veranschaulicht diesen Unterschied anhand eines Beispiels mit einem Ausreißer: Während der Mittelwert durch den extremen Wert stark beeinflusst wird, bleiben Median und Modus unverändert und liefern in solchen Fällen die passendere Beschreibung der Datenmitte.
Modus
Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert in einer Verteilung. Er ist besonders nützlich bei kategorialen Daten – zum Beispiel wenn Sie wissen möchten, welcher Studiengang in Ihrer Stichprobe am häufigsten vertreten ist. Bei metrischen Daten spielt er eine untergeordnete Rolle.
Streuungsmaße: Wie weit liegen die Werte auseinander?
Lagemaße allein sind keine vollständige Datenbeschreibung. Sie müssen immer durch ein Streuungsmaß ergänzt werden, das zeigt, wie stark die Einzelwerte um den zentralen Wert herum variieren. Zwei Gruppen können denselben Mittelwert haben und sich dabei in ihrer Verteilung völlig unterscheiden.
Standardabweichung und Varianz
Die Standardabweichung ist das gebräuchlichste Streuungsmaß für metrische Daten. Sie beschreibt die durchschnittliche Abweichung der Messwerte vom Mittelwert und wird in derselben Einheit ausgedrückt wie die ursprünglichen Daten.
Formel: Standardabweichung (Stichprobe)
Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung. Weil sie in quadrierten Einheiten ausgedrückt wird (z. B. Jahre²), ist sie schwerer direkt zu interpretieren. Die Standardabweichung löst dieses Problem, indem sie durch Ziehen der Wurzel wieder in die ursprüngliche Einheit zurückführt – ein Punkt, den der Leitfaden der University of Sydney ausdrücklich hervorhebt.
Spannweite und Interquartilsabstand
Die Spannweite (Range) ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Sie ist einfach zu berechnen, aber ebenfalls anfällig für Ausreißer.
Der Interquartilsabstand (IQR) beschreibt die Breite des mittleren 50 %-Bereichs der Verteilung – also die Differenz zwischen dem 75. und dem 25. Perzentil. Er ist robuster als die Spannweite und wird oft gemeinsam mit dem Median berichtet, wenn die Daten nicht normalverteilt sind.
Weitere Kennzahlen: Perzentile, z-Werte und Häufigkeiten
Perzentile und die Fünf-Punkte-Zusammenfassung
Perzentile geben an, unterhalb welches Wertes ein bestimmter Prozentsatz der Beobachtungen liegt. Das 25. Perzentil (Q1), der Median (Q2) und das 75. Perzentil (Q3) sind die Grundlage der sogenannten Fünf-Punkte-Zusammenfassung (Five-Number Summary): Minimum, Q1, Median, Q3, Maximum.
Die Einführung in die Datenbeschreibung der Pennsylvania State University listet Perzentile und die Fünf-Punkte-Zusammenfassung ausdrücklich als Lernziele für empirische Analysen auf – neben Mittelwert, Median, Modus, Standardabweichung und z-Werten. Diese Aufstellung macht deutlich, dass ein vollständiges Kennzahlen-Repertoire weit über den Mittelwert hinausgeht.
z-Werte (Standardisierung)
Ein z-Wert gibt an, um wie viele Standardabweichungen ein Messwert vom Mittelwert der Verteilung entfernt liegt. Er ermöglicht den Vergleich von Werten aus verschiedenen Skalen oder Messungen.
Formel: z-Wert
Ein z-Wert von +2 bedeutet: Der Messwert liegt zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert. In der Normalverteilung fallen etwa 95 % aller Werte in den Bereich zwischen z = –2 und z = +2.
Häufigkeiten und Anteile
Bei kategorialen Variablen – etwa Geschlecht, Berufsgruppe oder Diagnose – sind absolute und relative Häufigkeiten die zentralen Kennzahlen. Sie zeigen, wie oft eine Ausprägung in der Stichprobe vorkommt und welchen prozentualen Anteil sie ausmacht. Lagemaße wie Mittelwert oder Standardabweichung sind bei nominalskalierten Variablen nicht sinnvoll interpretierbar.
Welche Kennzahl passt zu welchem Skalenniveau?
Die Wahl der richtigen Kennzahl hängt immer vom Skalenniveau Ihrer Variablen ab. Das ist eine der häufigsten Fehlerquellen in empirischen Arbeiten.
| Skalenniveau | Beispiele | Geeignete Kennzahlen |
|---|---|---|
| Nominal | Geschlecht, Diagnose, Berufsgruppe | Häufigkeiten, Modus, Anteile |
| Ordinal | Likert-Skala, Schulnoten, Rangplätze | Median, Interquartilsabstand, Häufigkeiten |
| Metrisch (intervall/ratio) | Alter, Reaktionszeit, Testscores | Mittelwert, Standardabweichung, z-Werte, Perzentile |
Besonders bei Likert-Skalen ist Vorsicht geboten: Ob der Mittelwert berichtet werden darf, hängt von der theoretischen Begründung und der Konvention im jeweiligen Fachbereich ab. In der Psychologie wird häufig ein metrisches Niveau angenommen und der Mittelwert berichtet, sofern die Skala mindestens fünf Stufen umfasst. In anderen Disziplinen wird darüber diskutiert. Prüfen Sie im Zweifelsfall die Richtlinien Ihrer Hochschule oder besprechen Sie dies mit Ihrer Betreuungsperson.
Kennzahlen in der empirischen Abschlussarbeit: Was Sie beachten müssen
In einer empirischen Abschlussarbeit bilden statistische Kennzahlen das Fundament der deskriptiven Statistik – also jenes Teils der Auswertung, in dem Sie Ihre Stichprobe und Ihre Messungen beschreiben, bevor Sie hypothesenprüfende Tests durchführen.
Deskriptive Tabellen richtig anlegen
Eine vollständige Stichprobenbeschreibung enthält für jede relevante Variable die passenden Kennzahlen. Für metrische Variablen sind das in der Regel Mittelwert und Standardabweichung sowie Minimum und Maximum. Für nominale Variablen berichten Sie Häufigkeiten und Prozentwerte.
- Geben Sie immer die Stichprobengröße n an – für die Gesamtstichprobe und für Untergruppen.
- Runden Sie konsistent: In der Regel auf zwei Dezimalstellen für Mittelwert und Standardabweichung.
- Beschriften Sie Tabellenspalten eindeutig: M für Mittelwert, SD für Standardabweichung, Mdn für Median.
- Verweisen Sie im Text auf Ihre Tabellen und interpretieren Sie die wichtigsten Kennzahlen kurz.
Kennzahlen nicht isoliert berichten
Eine Kennzahl, die ohne Kontext steht, sagt wenig aus. Eurostat betont in seiner Definition ausdrücklich, dass statistische Indikatoren immer mit Bezug auf einen bestimmten Zeitraum, einen Ort oder ein relevantes Merkmal berichtet werden sollten – und dass sie positive oder negative Veränderungen anzeigen, aber nicht alle Aspekte eines Phänomens abbilden können. Übertragen auf Ihre Abschlussarbeit: Ordnen Sie Kennzahlen ein. Ein Mittelwert von 3,8 auf einer 5-stufigen Skala sagt erst dann etwas aus, wenn der Leser weiß, was die Skala misst und was theoretisch zu erwarten wäre.
Kennzahlen und inferenzstatistische Tests
Die deskriptiven Kennzahlen bereiten die statistische Analyse vor und begleiten sie. Jeder inferenzstatistische Test – ob t-Test, ANOVA oder Korrelation – setzt voraus, dass Sie die Struktur Ihrer Daten bereits kennen. Wer den Mittelwert und die Standardabweichung seiner Gruppen kennt, kann auch die Effektstärke besser einordnen und die Ergebnisse angemessen interpretieren.
Eine Übersicht über die gängigen Verfahren der statistischen Auswertung für empirische Abschlussarbeiten hilft Ihnen dabei, den Schritt von der Deskription zur Inferenz systematisch zu planen.
Was gehört in welche Arbeit?
Die Anforderungen variieren je nach Arbeitstyp. Für eine Bachelorarbeit reicht in der Regel eine solide deskriptive Tabelle mit den wichtigsten Kennzahlen. In einer Masterarbeit oder Dissertation werden differenziertere Auswertungen erwartet – etwa getrennte Deskriptionen für Untergruppen, Normalverteilungsprüfungen und die Angabe von Konfidenzintervallen.
Einen detaillierteren Überblick über die spezifischen Anforderungen finden Sie in den Beiträgen zur statistischen Auswertung der Bachelorarbeit und zur statistischen Auswertung der Masterarbeit. Welche konkreten Kennzahlenarten in der Literatur unterschieden werden, erläutert auch unser Beitrag zu den vier Arten von Kennzahlen.
