Welche sind die statistischen Kennzahlen?

Was sind statistische Kennzahlen?

Statistische Kennzahlen – auch als deskriptive Statistiken bezeichnet – fassen einen Datensatz in einzelnen Zahlen zusammen. Sie beschreiben, was typisch ist, wie stark die Werte streuen, wo ein einzelner Wert im Vergleich zur Gesamtverteilung liegt und ob die Verteilung symmetrisch oder schief ist.

In der Praxis unterteilt man statistische Kennzahlen in vier Hauptgruppen:

• Lagemaße – beschreiben einen zentralen oder typischen Wert
• Streuungsmaße – beschreiben die Variabilität der Daten
• Positionsmaße – ordnen einzelne Werte relativ zur Verteilung ein
• Formmaße – beschreiben die Gestalt der Verteilung

Diese vier Gruppen zusammen liefern ein vollständiges Bild eines Datensatzes – und genau das erwartet die Prüfungskommission im Ergebnisteil einer empirischen Abschlussarbeit.

Lagemaße: Mittelwert, Median und Modus

Lagemaße beantworten die Frage: Welcher Wert ist typisch für meine Daten? Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Frage zu beantworten – und die Wahl hängt vom Skalenniveau und der Verteilungsform ab.

Arithmetischer Mittelwert

Der Mittelwert ist die bekannteste Lagekennzahl. Er berechnet sich als Summe aller Werte dividiert durch die Anzahl der Beobachtungen:

Der Mittelwert ist nur für metrisch skalierte Variablen sinnvoll. Sein zentrales Problem: Er reagiert empfindlich auf Ausreißer. Ein einziger extremer Wert kann den Mittelwert stark verzerren. In solchen Fällen ist der Median die bessere Wahl.

Median

Der Median ist der mittlere Wert einer geordneten Datenreihe – genau 50 % der Werte liegen darunter, 50 % darüber. Er ist robust gegenüber Ausreißern und besonders bei schiefen Verteilungen oder ordinalen Daten zu bevorzugen.

Als Faustregel gilt: Wenn Mittelwert und Median deutlich voneinander abweichen, liegt wahrscheinlich eine schiefe Verteilung vor – und der Median ist die aussagekräftigere Kennzahl. Wie in der Methodenliteratur beschrieben, ist die Wahl des geeigneten Lagemaßes von der Verteilungsform und dem Skalenniveau abhängig – eine pauschale Empfehlung für den Mittelwert ist also nicht immer richtig.

Modus

Der Modus ist der häufigste Wert in einem Datensatz. Er ist die einzige Lagekennzahl, die auch für nominalskalierte Variablen (z. B. Geschlecht, Studiengang) verwendet werden kann. Bei kontinuierlichen Variablen ist er hingegen weniger sinnvoll, da jeder Wert möglicherweise nur einmal vorkommt.

Streuungsmaße: Varianz, Standardabweichung und mehr

Ein Lagemaß allein reicht nicht aus, um einen Datensatz zu verstehen. Zwei Gruppen können denselben Mittelwert haben und trotzdem völlig unterschiedlich verteilt sein. Streuungsmaße beschreiben, wie weit die Werte vom Zentrum entfernt liegen.

Varianz und Standardabweichung

Die Varianz ist der Durchschnitt der quadrierten Abweichungen aller Werte vom Mittelwert:

Da die Varianz in quadrierten Einheiten angegeben wird, ist sie schwer direkt interpretierbar. Daher zieht man die Wurzel und erhält die Standardabweichung , die wieder in der Originaleinheit der Daten steht.

Ein anschauliches Beispiel verdeutlicht den Unterschied: Zwei Supermärkte haben beide eine mittlere Wartezeit von fünf Minuten – der erste mit einer Standardabweichung von zwei Minuten, der zweite mit vier Minuten. Die höhere Standardabweichung bedeutet deutlich mehr Variation in der Wartezeit – obwohl der Mittelwert identisch ist. Ohne Streuungsmaß würde man diese relevante Information komplett übersehen.

Spannweite und Interquartilsabstand

Die Spannweite (Range) ist die einfachste Streuungskennzahl: Sie berechnet sich als Differenz aus Maximal- und Minimalwert. Ihr Nachteil ist, dass sie extrem auf Ausreißer reagiert.

Robuster ist der Interquartilsabstand (IQR): Er beschreibt die Breite des mittleren 50 % der Verteilung und wird als Differenz zwischen dem 75. und 25. Perzentil berechnet. Der IQR ist die bevorzugte Streuungskennzahl, wenn der Median als Lagemaß berichtet wird.

Positionsmaße: Perzentile, Quartile und z-Werte

Positionsmaße beantworten die Frage: Wo steht ein einzelner Wert im Verhältnis zur gesamten Verteilung? Sie sind besonders nützlich, wenn Sie einzelne Beobachtungen einordnen oder Verteilungen vergleichen möchten.

Perzentile und Quartile

Perzentile teilen die geordneten Daten in 100 gleich große Teile. Das 25. Perzentil (auch erstes Quartil, Q1) bedeutet: 25 % der Werte liegen darunter. Das 75. Perzentil (drittes Quartil, Q3) bedeutet: 75 % der Werte liegen darunter. Der Median entspricht dem 50. Perzentil.

Zusammen bilden Minimum, Q1, Median, Q3 und Maximum die sogenannte Five-Number Summary – eine kompakte Zusammenfassung der gesamten Verteilung, die auch die Grundlage für Boxplots bildet. In der universitären Statistiklehre wird betont, dass Lage, Streuung, Position und Verteilungsform gemeinsam betrachtet werden sollten, um ein vollständiges Bild der Daten zu erhalten.

z-Werte (Standardwerte)

Der z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt:

Ein z-Wert von 2,0 bedeutet: Der Wert liegt zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert. z-Werte ermöglichen es, Werte aus unterschiedlichen Skalen miteinander zu vergleichen – ein wichtiges Instrument in der Testtheorie und bei Normierungen.

Verteilungsform: Schiefe und Kurtosis

Formmaße beschreiben die Gestalt der Häufigkeitsverteilung. Sie beantworten Fragen wie: Ist die Verteilung symmetrisch? Gibt es lange Ausläufer nach rechts oder links? Wie steil oder flach ist die Verteilung?

Schiefe (Skewness)

Die Schiefe misst die Asymmetrie einer Verteilung. Bei einer symmetrischen Normalverteilung beträgt die Schiefe 0. Eine positive Schiefe (rechtsschiefe Verteilung) bedeutet: Es gibt einen langen Ausläufer nach rechts, der Mittelwert liegt über dem Median. Eine negative Schiefe (linksschiefe Verteilung) verhält sich umgekehrt.

Als Richtwert gilt: Eine Schiefe zwischen −1 und +1 wird in vielen Fachbereichen noch als akzeptabel angesehen. Werte außerhalb dieses Bereichs können die Anwendbarkeit parametrischer Verfahren infrage stellen.

Kurtosis (Wölbung)

Die Kurtosis beschreibt, wie steil oder flach eine Verteilung im Vergleich zur Normalverteilung ist. Eine hohe Kurtosis (Leptokurtose) bedeutet einen spitzen Gipfel mit schweren Rändern, eine niedrige Kurtosis (Platykurtose) einen flachen Gipfel. Für die Normalverteilung gilt eine Exzesskurtosis von 0.

Welche Kennzahl wann verwenden?

Die Wahl der richtigen Kennzahlen hängt vom Skalenniveau und der Verteilungsform ab. Die folgende Übersicht gibt eine schnelle Orientierung:

Diese Zuordnung ist keine starre Regel, sondern eine methodische Leitlinie. Wer die Wahl der Kennzahlen in seiner empirischen Arbeit begründet, zeigt methodisches Verständnis – und genau das wird bewertet.

Kennzahlen in empirischen Arbeiten richtig einsetzen

Im Ergebnisteil einer Bachelorarbeit oder Masterarbeit werden statistische Kennzahlen standardmäßig in Deskriptivstatistik-Tabellen berichtet. Typischerweise umfasst das: n (Stichprobengröße), M oder Mdn (Mittelwert oder Median), SD oder IQR (Streuungsmaß) sowie ggf. Min, Max und die Five-Number Summary.

Dabei gilt: Kennzahlen werden nicht einfach aufgelistet – sie müssen interpretiert werden. Was bedeutet es konkret, wenn die Standardabweichung fast so groß ist wie der Mittelwert? Was verrät ein deutlicher Unterschied zwischen Mittelwert und Median über Ihre Daten? Genau diese Interpretation unterscheidet eine methodisch starke Arbeit von einer schwachen.

Die Wahl und korrekte Interpretation statistischer Kennzahlen gehört zu den Themen, die im Rahmen eines Statistik-Coachings oder einer methodischen Begleitung gezielt geübt werden können – besonders dann, wenn die Grundlagen in der Lehrveranstaltung nicht ausreichend vermittelt wurden.

Falls Sie sich fragen, welche Kennzahlen für Ihre spezifische Forschungsfrage und Ihr Skalenniveau geeignet sind, lohnt sich ein Blick auf die verschiedenen Arten der statistischen Auswertung – dort wird der Zusammenhang zwischen Fragestellung, Messniveau und passenden Verfahren ausführlich erläutert.

Wer unsicher ist, welche statistischen Methoden für die eigene Arbeit infrage kommen, findet dort ebenfalls einen guten Einstieg. Und wer vor allem für eine Klausur lernt, sollte sich die verschiedenen Kennzahlengruppen systematisch erarbeiten – zum Beispiel im Rahmen eines Statistik-Crashkurses, der genau auf Prüfungsanforderungen zugeschnitten ist.