Adjustiertes R-Quadrat
In diesem Beitrag
Was versteht man unter adjustiertem R-Quadrat?
Das adjustierte R-Quadrat (auch: korrigiertes Bestimmtheitsmaß) ist ein Gütemaß für Regressionsmodelle. Es gibt an, wie gut ein Modell die Varianz der abhängigen Variable erklärt – bereinigt um die Anzahl der verwendeten Prädiktoren.
Ausgangspunkt ist das bekannte R-Quadrat (Bestimmtheitsmaß), das den Anteil der durch das Modell erklärten Varianz an der Gesamtvarianz misst und Werte zwischen 0 und 1 annimmt. Ein Problem von R² ist jedoch, dass es mechanisch ansteigt, sobald man weitere Prädiktoren in das Modell aufnimmt – selbst wenn diese Prädiktoren inhaltlich irrelevant sind. Das adjustierte R-Quadrat korrigiert diesen Effekt, indem es die Modellkomplexität berücksichtigt.
Formel
Dabei steht n für die Stichprobengröße und k für die Anzahl der Prädiktoren im Modell (ohne die Konstante). Im Gegensatz zu R² kann das adjustierte R-Quadrat auch negative Werte annehmen, wenn das Modell die Daten schlechter erklärt als ein Modell ohne Prädiktoren.
Warum ist adjustiertes R-Quadrat für statistische Analysen wichtig?
Wer mehrere Regressionsmodelle miteinander vergleicht – zum Beispiel ein Modell mit zwei und eines mit fünf Prädiktoren –, sollte nicht allein auf R² schauen. Das adjustierte R-Quadrat ist hier das geeignetere Maß, weil es einen fairen Vergleich ermöglicht: Ein höheres adjustiertes R-Quadrat zeigt an, dass das komplexere Modell tatsächlich besser erklärt und nicht nur durch mehr Variablen aufgebläht wurde.
Das adjustierte R-Quadrat ist besonders relevant in folgenden Situationen:
- Beim Modellvergleich: Welches Regressionsmodell erklärt die Daten am besten?
- Bei der Variablenselektion: Lohnt es sich, einen weiteren Prädiktor aufzunehmen?
- Bei kleinen Stichproben: Hier hat die Anzahl der Prädiktoren relativ zur Fallzahl besonders starken Einfluss auf R².
Praxisbeispiel zu adjustiertem R-Quadrat
Eine Studierende untersucht in ihrer Bachelorarbeit, welche Faktoren die Prüfungsleistung von Studierenden vorhersagen. Sie schätzt zwei Regressionsmodelle:
| Modell | Prädiktoren | R² | Adjustiertes R² |
|---|---|---|---|
| Modell 1 | Lernzeit, Schlafqualität | .38 | .36 |
| Modell 2 | Lernzeit, Schlafqualität, Schuhgröße, Geburtsmonat | .40 | .35 |
Obwohl Modell 2 ein höheres R² aufweist, ist das adjustierte R-Quadrat niedriger als in Modell 1. Das bedeutet: Die zwei zusätzlichen Variablen (Schuhgröße und Geburtsmonat) verbessern das Modell nicht wirklich – sie erhöhen R² nur künstlich. Modell 1 ist das sparsamere und tatsächlich bessere Modell.
In der Praxis würde man also Modell 1 bevorzugen und in der Arbeit das adjustierte R² von .36 berichten und interpretieren: „Die Prädiktoren Lernzeit und Schlafqualität erklären etwa 36 % der Varianz in der Prüfungsleistung (adjustiertes R² = .36).“
