Autokorrelation der Fehler
In diesem Beitrag
Was versteht man unter Autokorrelation der Fehler?
Autokorrelation der Fehler (auch: serielle Korrelation) beschreibt ein Phänomen in der Regressionsanalyse: Die Residuen – also die Abweichungen zwischen den beobachteten und den durch das Modell vorhergesagten Werten – sind nicht unabhängig voneinander, sondern korrelieren mit früheren oder späteren Residuen derselben Datenreihe.
Formal ausgedrückt liegt Autokorrelation erster Ordnung vor, wenn gilt:
Autokorrelation erster Ordnung (AR(1)-Prozess)
Dabei steht für den Fehlerterm zum Zeitpunkt t, für den Autokorrelationskoeffizienten und für einen echten, unabhängigen Zufallsfehler. Ist , besteht keine Autokorrelation. Je näher an +1 oder −1 liegt, desto stärker ist die serielle Abhängigkeit.
Warum ist Autokorrelation der Fehler für statistische Analysen wichtig?
Die klassische lineare Regression setzt voraus, dass die Fehlerterme unabhängig und identisch verteilt sind. Autokorrelation verletzt diese Annahme und hat konkrete Folgen für die Qualität deiner Analyse:
- Verzerrte Standardfehler: Die geschätzten Standardfehler der Regressionskoeffizienten sind zu klein. Dadurch wirken Ergebnisse statistisch signifikanter, als sie es tatsächlich sind.
- Ungültige Signifikanztests: t-Tests und F-Tests verlieren ihre Aussagekraft, weil ihre Grundannahmen nicht erfüllt sind.
- Ineffiziente Schätzungen: Die OLS-Schätzung (Methode der kleinsten Quadrate) ist zwar noch erwartungstreu, aber nicht mehr die effizienteste Methode – es gibt Alternativen mit kleinerer Varianz.
Um Autokorrelation zu erkennen, wird häufig der Durbin-Watson-Test eingesetzt. Der Testwert liegt zwischen 0 und 4. Ein Wert nahe 2 deutet auf keine Autokorrelation hin, Werte deutlich unter 2 auf positive, Werte deutlich über 2 auf negative Autokorrelation. Alternativ bieten sich die grafische Inspektion der Residuen über die Zeit sowie der Breusch-Godfrey-Test an, der auch Autokorrelation höherer Ordnung erkennt.
Wird Autokorrelation festgestellt, stehen verschiedene Abhilfemaßnahmen zur Verfügung: das Einbeziehen verzögerter Variablen (Lags) ins Modell, der Einsatz von HAC-Standardfehlern (Heteroskedastizitäts- und Autokorrelationskonsistente Standardfehler, z. B. nach Newey-West) oder die Verwendung von GLS-Schätzung (Generalized Least Squares).
Praxisbeispiel zu Autokorrelation der Fehler
Angenommen, du untersuchst in deiner Masterarbeit, ob das monatliche Werbebudget eines Unternehmens seinen Umsatz erklärt. Du schätzt eine einfache lineare Regression und überprüfst anschließend die Residuen.
| Monat | Residuum (in Tsd. €) | Auffälligkeit |
|---|---|---|
| Januar | +12 | Modell unterschätzt |
| Februar | +15 | Modell unterschätzt |
| März | +9 | Modell unterschätzt |
| April | −11 | Modell überschätzt |
| Mai | −14 | Modell überschätzt |
| Juni | −10 | Modell überschätzt |
Die Residuen zeigen ein klares Muster: Mehrere positive Werte folgen aufeinander, dann mehrere negative. Das ist ein typisches Zeichen für positive Autokorrelation. Ein zufälliges Streumuster würde hingegen kein solches Clustern zeigen.
Der Durbin-Watson-Test ergibt in diesem Szenario einen Wert von 1,1 – deutlich unter 2, was positive Autokorrelation bestätigt. Als nächsten Schritt würdest du etwa Newey-West-Standardfehler berechnen oder das Modell um saisonale Faktoren als zusätzliche Prädiktoren erweitern, um die Ursache der Abhängigkeit direkt im Modell zu berücksichtigen.
