Binomialverteilung
In diesem Beitrag
Was versteht man unter Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie beschreibt, wie wahrscheinlich es ist, bei n unabhängigen Versuchen genau k Mal ein bestimmtes Ergebnis zu erzielen – vorausgesetzt, jeder Versuch hat genau zwei mögliche Ausgänge (Erfolg oder Misserfolg) und die Erfolgswahrscheinlichkeit p bleibt bei jedem Versuch konstant.
Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge lautet:
Formel: Binomialverteilung
Die drei Bestandteile haben folgende Bedeutung:
- n – Anzahl der Versuche
- k – Anzahl der gewünschten Erfolge (0 ≤ k ≤ n)
- p – Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs pro Versuch
- – Binomialkoeffizient: Anzahl der Möglichkeiten, k Erfolge aus n Versuchen auszuwählen
Damit die Binomialverteilung gilt, müssen drei Voraussetzungen erfüllt sein:
- Die Versuche sind unabhängig voneinander.
- Es gibt genau zwei Ausgänge pro Versuch (Erfolg / Misserfolg).
- Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist konstant über alle Versuche.
Warum ist die Binomialverteilung für statistische Analysen wichtig?
Die Binomialverteilung ist ein grundlegendes Werkzeug überall dort, wo Ergebnisse in zwei Kategorien fallen: bestanden/nicht bestanden, krank/gesund, geklickt/nicht geklickt. Sie bildet die theoretische Grundlage für eine Reihe wichtiger statistischer Verfahren:
- Hypothesentests: Der Binomialtest prüft, ob eine beobachtete Erfolgsquote mit einem angenommenen Wert übereinstimmt.
- Konfidenzintervalle für Anteile: Die Binomialverteilung ist die Basis für die Berechnung von Konfidenzintervallen bei Proportionen.
- Stichprobenplanung: Sie hilft abzuschätzen, wie groß eine Stichprobe sein muss, um einen bestimmten Anteilswert zuverlässig schätzen zu können.
Bei großem n und moderatem p kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung angenähert werden – eine Faustregel lautet: Die Annäherung ist akzeptabel, wenn n · p ≥ 5 und n · (1 − p) ≥ 5.
Praxisbeispiel zu Binomialverteilung
In einer Studie zur Wirksamkeit eines neuen Medikaments wird angenommen, dass es bei 70 % der Patientinnen und Patienten anschlägt (p = 0,70). Nun werden n = 8 Personen behandelt. Wie wahrscheinlich ist es, dass genau 6 Personen auf das Medikament ansprechen?
Berechnung: P(X = 6)
| Anzahl Erfolge k | P(X = k) |
|---|---|
| 4 | 0,136 |
| 5 | 0,254 |
| 6 | 0,296 |
| 7 | 0,198 |
| 8 | 0,058 |
Das Ergebnis: Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 29,6 % sprechen genau 6 von 8 Personen auf das Medikament an. Der wahrscheinlichste Wert liegt ebenfalls bei 6 – das entspricht dem Erwartungswert , also 5,6 Erfolge im Mittel, gerundet zum nächsten ganzzahligen Spitzenwert.
dbinom(6, size = 8, prob = 0.7).
