Breusch-Pagan-Test
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Was versteht man unter dem Breusch-Pagan-Test?
Der Breusch-Pagan-Test ist ein statistischer Test, der prüft, ob in einem linearen Regressionsmodell Heteroskedastizität vorliegt. Heteroskedastizität bedeutet, dass die Varianz der Residuen (also der Fehlerterme) nicht konstant ist, sondern systematisch mit einer oder mehreren erklärenden Variablen variiert. Das Gegenteil – eine konstante Fehlervarianz über alle Beobachtungen hinweg – nennt sich Homoskedastizität und ist eine der zentralen Annahmen der klassischen linearen Regression (OLS).
Die Grundidee des Tests ist einfach: Die quadrierten Residuen aus der ursprünglichen Regression werden in einer Hilfsregression auf die erklärenden Variablen regressiert. Wenn diese erklärenden Variablen die quadrierten Residuen signifikant erklären, deutet das darauf hin, dass die Fehlervarianz nicht konstant ist.
Teststatistik des Breusch-Pagan-Tests
Die Teststatistik berechnet sich als Produkt aus der Anzahl der Beobachtungen n und dem Bestimmtheitsmaß R² der Hilfsregression. Unter der Nullhypothese (Homoskedastizität) folgt diese Statistik asymptotisch einer Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden, wobei k die Anzahl der erklärenden Variablen in der Hilfsregression ist.
- Nullhypothese H₀: Die Fehlervarianz ist konstant (Homoskedastizität).
- Alternativhypothese H₁: Die Fehlervarianz ist nicht konstant (Heteroskedastizität).
Ein kleiner p-Wert (typischerweise unter 0,05) führt zur Ablehnung der Nullhypothese – der Test liefert dann einen Hinweis auf Heteroskedastizität.
Warum ist der Breusch-Pagan-Test für statistische Analysen wichtig?
Die OLS-Schätzung liefert zwar auch bei Heteroskedastizität unverzerrte Koeffizientenschätzungen, aber die Standardfehler werden verzerrt. Das hat direkte Konsequenzen: Signifikanztests und Konfidenzintervalle sind dann nicht mehr zuverlässig, was zu falschen Schlussfolgerungen führen kann.
Der Breusch-Pagan-Test hilft, dieses Problem frühzeitig zu erkennen. Wird Heteroskedastizität festgestellt, stehen verschiedene Lösungsansätze zur Verfügung:
- Robuste Standardfehler (z. B. Huber-White-Standardfehler): Die Koeffizienten bleiben unverändert, aber die Standardfehler werden korrigiert.
- Gewichtete kleinste Quadrate (WLS): Beobachtungen mit größerer Fehlervarianz erhalten ein geringeres Gewicht.
- Variablentransformation: Zum Beispiel eine logarithmische Transformation der abhängigen Variable kann die Varianzstruktur stabilisieren.
Praxisbeispiel zu Breusch-Pagan-Test
Eine Forscherin untersucht mit einer linearen Regression, inwieweit das Haushaltseinkommen (in Tausend Euro) die monatlichen Ausgaben für Lebensmittel (in Euro) erklärt. Nach der Schätzung führt sie den Breusch-Pagan-Test durch.
| Kenngröße | Wert |
|---|---|
| Anzahl Beobachtungen (n) | 120 |
| R² der Hilfsregression | 0,142 |
| Teststatistik (n · R²) | 17,04 |
| Freiheitsgrade | 1 |
| p-Wert | 0,0001 |
Die Teststatistik beträgt 17,04 bei einem Freiheitsgrad. Der zugehörige p-Wert von 0,0001 liegt deutlich unter dem Signifikanzniveau von 0,05. Die Nullhypothese der Homoskedastizität wird abgelehnt.
Interpretation: Die Fehlervarianz wächst systematisch mit dem Haushaltseinkommen – reichere Haushalte zeigen eine größere Streuung in ihren Lebensmittelausgaben. Die Forscherin entscheidet sich daraufhin, robuste Standardfehler zu verwenden, um valide Signifikanztests berichten zu können.
