Chi-Quadrat-Verteilung
In diesem Beitrag
Was versteht man unter der Chi-Quadrat-Verteilung?
Die Chi-Quadrat-Verteilung (χ²-Verteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die ausschließlich nicht-negative Werte annimmt. Sie entsteht, wenn man k unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen quadriert und aufsummiert. Die Zahl k wird dabei als Freiheitsgrad bezeichnet und bestimmt die genaue Form der Verteilung.
Formale Definition
Dabei sind unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariablen. Die resultierende Verteilung hat den Erwartungswert k und die Varianz 2k.
Die Form der Verteilung hängt stark von den Freiheitsgraden ab: Bei niedrigen Freiheitsgraden ist sie stark rechtsschief und fällt steil ab. Mit wachsenden Freiheitsgraden wird sie breiter und nähert sich einer Normalverteilung an.
Warum ist die Chi-Quadrat-Verteilung für statistische Analysen wichtig?
Die Chi-Quadrat-Verteilung ist in der angewandten Statistik allgegenwärtig. Sie bildet die theoretische Grundlage für eine Reihe wichtiger statistischer Tests und Verfahren:
- Chi-Quadrat-Anpassungstest: Prüft, ob eine beobachtete Häufigkeitsverteilung mit einer erwarteten theoretischen Verteilung übereinstimmt.
- Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest: Untersucht, ob zwei kategoriale Variablen in einer Kreuztabelle statistisch unabhängig voneinander sind.
- Konfidenzintervalle für Varianzen: Bei normalverteilten Grundgesamtheiten lässt sich die Stichprobenvarianz über die χ²-Verteilung absichern.
- Likelihood-Quotienten-Tests: In der Maximum-Likelihood-Schätzung folgt die Teststatistik asymptotisch einer χ²-Verteilung.
Ein zentrales Konzept ist dabei stets der Freiheitsgrad. Er gibt an, wie viele unabhängige Informationen in die Berechnung einfließen, und bestimmt, welche χ²-Verteilung als Referenz herangezogen wird.
Praxisbeispiel zu Chi-Quadrat-Verteilung
Eine Studentin untersucht, ob die Wahl des Studienabschlusses (Bachelor, Master, Promotion) unabhängig vom Geschlecht (weiblich, männlich) ist. Sie befragt 200 Studierende und erhält folgende Häufigkeiten:
| Abschluss | Weiblich | Männlich | Gesamt |
|---|---|---|---|
| Bachelor | 55 | 45 | 100 |
| Master | 30 | 40 | 70 |
| Promotion | 10 | 20 | 30 |
| Gesamt | 95 | 105 | 200 |
Im Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest werden zunächst die erwarteten Häufigkeiten berechnet – also jene Werte, die man bei vollständiger Unabhängigkeit beider Merkmale erwarten würde. Für die Zelle „Bachelor / Weiblich“ ergibt sich beispielsweise:
Erwartete Häufigkeit (Beispiel)
Anschließend wird die Teststatistik berechnet, die die quadrierten Abweichungen zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten aufsummiert. Diese Teststatistik folgt unter der Nullhypothese einer χ²-Verteilung mit Freiheitsgraden – in diesem Beispiel also mit 2 Freiheitsgraden. Der resultierende p-Wert gibt Auskunft darüber, ob die beobachteten Abweichungen zufällig entstanden sein könnten oder auf einen echten Zusammenhang hinweisen.
