Eigenwert
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Was versteht man unter Eigenwert?
Ein Eigenwert (englisch: eigenvalue) ist ein zentrales Konzept der linearen Algebra, das in der multivariaten Statistik eine wichtige Rolle spielt. Er tritt immer zusammen mit einem zugehörigen Eigenvektor auf.
Formal gilt: Wenn A eine quadratische Matrix ist, dann ist ein Eigenwert von A, wenn es einen Vektor v ≠ 0 gibt, sodass gilt:
Grundlegende Eigenwertgleichung
Dabei ist v der zugehörige Eigenvektor. Die Gleichung beschreibt, dass die Matrix A den Vektor v nicht in eine neue Richtung dreht, sondern ihn lediglich um den Faktor streckt oder staucht.
Die Eigenwerte einer Matrix lassen sich über die sogenannte charakteristische Gleichung bestimmen:
Charakteristische Gleichung
Hierbei steht I für die Einheitsmatrix und det für die Determinante. Die Lösungen dieser Gleichung sind die Eigenwerte der Matrix.
Warum ist der Eigenwert für statistische Analysen wichtig?
Eigenwerte sind in der Statistik vor allem in zwei Verfahren unverzichtbar: der Hauptkomponentenanalyse (PCA) und der Faktorenanalyse.
Bei der PCA wird die Kovarianz– oder Korrelationsmatrix der Daten auf ihre Eigenwerte und Eigenvektoren hin untersucht. Jeder Eigenwert gibt an, wie viel Varianz die zugehörige Hauptkomponente erklärt. Komponenten mit großen Eigenwerten erklären viel Varianz und sind damit informationsreicher. Komponenten mit kleinen Eigenwerten tragen wenig zur Erklärung der Gesamtvarianz bei.
Daraus ergibt sich ein praktischer Nutzen: Statt mit vielen Originalvariablen zu arbeiten, kann man sich auf wenige Hauptkomponenten mit hohen Eigenwerten beschränken und so die Dimensionalität der Daten reduzieren, ohne dabei zu viel Information zu verlieren.
Praxisbeispiel zu Eigenwert
Eine Forscherin untersucht Studierende anhand von vier psychologischen Tests (Konzentration, Gedächtnis, Verarbeitungsgeschwindigkeit, logisches Denken). Sie führt eine PCA auf der Korrelationsmatrix durch und erhält folgende Eigenwerte:
| Komponente | Eigenwert | Erklärte Varianz (%) | Kumuliert (%) |
|---|---|---|---|
| 1 | 2,41 | 60,3 | 60,3 |
| 2 | 1,12 | 28,0 | 88,3 |
| 3 | 0,31 | 7,7 | 96,0 |
| 4 | 0,16 | 4,0 | 100,0 |
Nach dem Kaiser-Kriterium (Eigenwert > 1) werden die ersten beiden Komponenten beibehalten. Sie erklären zusammen bereits 88,3 % der Gesamtvarianz. Die ursprünglichen vier Variablen lassen sich also durch zwei Hauptkomponenten gut zusammenfassen – eine erhebliche Vereinfachung bei minimalem Informationsverlust.
Der erklärte Varianzanteil der ersten Komponente berechnet sich dabei als:
Berechnung des erklärten Varianzanteils
