Einfache Regression
In diesem Beitrag
Was versteht man unter einfacher Regression?
Die einfache Regression – genauer: die einfache lineare Regression – ist ein statistisches Verfahren, das den Zusammenhang zwischen einer unabhängigen Variable (auch Prädiktor oder Einflussgröße genannt) und einer abhängigen Variable (auch Kriterium oder Zielgröße genannt) modelliert. Ziel ist es, diesen Zusammenhang durch eine Gerade zu beschreiben und auf dieser Basis Vorhersagen zu treffen.
Die mathematische Grundform des Modells lautet:
Regressionsgleichung
Die einzelnen Bestandteile der Formel bedeuten:
- ŷ – der vorhergesagte (geschätzte) Wert der abhängigen Variable
- b₀ – der y-Achsenabschnitt (Intercept): der vorhergesagte Wert von ŷ, wenn x gleich null ist
- b₁ – der Regressionskoeffizient (Slope): gibt an, um wie viel sich ŷ verändert, wenn x um eine Einheit steigt
- x – der beobachtete Wert der unabhängigen Variable
Die Koeffizienten b₀ und b₁ werden mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate (Ordinary Least Squares, OLS) geschätzt. Das Verfahren minimiert dabei die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen den tatsächlich beobachteten Werten und den durch das Modell vorhergesagten Werten.
Warum ist einfache Regression für statistische Analysen wichtig?
Die einfache Regression ist aus zwei Gründen besonders wertvoll: Sie ermöglicht sowohl die Erklärung als auch die Vorhersage von Zusammenhängen. Du kannst damit untersuchen, ob und wie stark eine Variable eine andere beeinflusst – und auf Basis des Modells konkrete Werte schätzen, die du noch nicht gemessen hast.
Darüber hinaus liefert die Regression wichtige Kennzahlen zur Modellgüte. Das bekannteste Maß ist das Bestimmtheitsmaß R² (R-Quadrat). Es gibt an, welcher Anteil der Gesamtvarianz der abhängigen Variable durch das Modell erklärt wird – ein Wert von 0,70 bedeutet beispielsweise, dass 70 % der Streuung in y durch x erklärt werden.
Außerdem lässt sich mit einem F-Test prüfen, ob das Regressionsmodell insgesamt statistisch signifikant ist, und mit einem t-Test, ob der einzelne Regressionskoeffizient b₁ signifikant von null abweicht.
Praxisbeispiel zu einfacher Regression
Eine Studentin untersucht, ob die wöchentliche Lernzeit (in Stunden) die Klausurnote (in Punkten von 0 bis 100) vorhersagt. Sie erhebt Daten von 80 Kommilitoninnen und Kommilitonen und berechnet eine einfache Regression.
| Kennzahl | Wert | Interpretation |
|---|---|---|
| b₀ (Intercept) | 42,0 | Bei null Stunden Lernzeit wird eine Punktzahl von 42 vorhergesagt |
| b₁ (Slope) | 3,5 | Jede zusätzliche Lernstunde erhöht die Punktzahl im Schnitt um 3,5 Punkte |
| R² | 0,61 | 61 % der Varianz in der Note werden durch die Lernzeit erklärt |
| p-Wert (F-Test) | < 0,001 | Das Modell ist statistisch signifikant |
Die Regressionsgleichung lautet in diesem Beispiel: Punktzahl = 42,0 + 3,5 · Lernzeit. Für eine Studierende, die pro Woche 10 Stunden lernt, ergibt sich damit ein vorhergesagter Wert von 42,0 + 3,5 · 10 = 77 Punkten. Das R² von 0,61 zeigt, dass das Modell einen substanziellen Teil der Unterschiede in den Prüfungsergebnissen erklären kann – allerdings bleiben 39 % der Varianz durch andere Faktoren (z. B. Vorwissen, Schlaf, Prüfungsangst) unerklärt.
