Einheitswurzeltest
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Was versteht man unter dem Einheitswurzeltest?
Ein Einheitswurzeltest prüft, ob eine Zeitreihe eine sogenannte Einheitswurzel besitzt – also ob der datengenerierte Prozess nicht-stationär ist. Eine Zeitreihe ist stationär, wenn ihr Erwartungswert, ihre Varianz und ihre Autokovarianzen über die Zeit konstant bleiben. Ist eine Einheitswurzel vorhanden, ist die Reihe hingegen nicht-stationär: Schocks wirken dauerhaft fort, und Mittelwert sowie Varianz verändern sich über die Zeit.
Formal betrachtet modelliert man die Zeitreihe oft als autoregressiven Prozess erster Ordnung (AR(1)):
AR(1)-Prozess
Dabei ist der autoregressive Koeffizient und ein zufälliger Fehlerterm. Gilt , liegt eine Einheitswurzel vor – die Zeitreihe folgt einem sogenannten Random Walk und ist nicht-stationär. Ist , ist die Reihe stationär.
Die bekanntesten Testverfahren sind der Augmented Dickey-Fuller-Test (ADF), der Phillips-Perron-Test (PP) sowie der KPSS-Test. ADF und PP testen die Nullhypothese, dass eine Einheitswurzel vorliegt (also Nicht-Stationarität). Der KPSS-Test kehrt die Hypothesen um: Dort ist Stationarität die Nullhypothese.
Warum ist der Einheitswurzeltest für statistische Analysen wichtig?
Viele statistische Verfahren – vor allem Regressionsmodelle für Zeitreihen – setzen Stationarität voraus. Ignoriert man eine vorhandene Einheitswurzel, droht das Problem der Scheinregression (englisch: spurious regression): Zwei völlig unabhängige, aber nicht-stationäre Reihen können einen hohen -Wert und scheinbar signifikante Koeffizienten liefern – obwohl kein echter Zusammenhang besteht. Die Ergebnisse wären dann wertlos.
Einheitswurzeltests stehen deshalb am Anfang vieler Zeitreihenanalysen. Sie helfen zu entscheiden:
- Muss die Reihe vor der Analyse differenziert werden, um Stationarität herzustellen?
- Können Modelle wie ARMA direkt angewendet werden, oder ist ARIMA nötig?
- Liegt möglicherweise eine Kointegrationsbeziehung zwischen mehreren nicht-stationären Reihen vor?
Praxisbeispiel zum Einheitswurzeltest
Eine Studierende untersucht in ihrer Masterarbeit, ob das monatliche Bruttoinlandsprodukt (BIP) Deutschlands und die Arbeitslosenquote über 20 Jahre zusammenhängen. Bevor sie eine Regression schätzt, führt sie für beide Reihen einen ADF-Test durch.
| Zeitreihe | ADF-Teststatistik | p-Wert | Befund |
|---|---|---|---|
| BIP (Niveau) | −1,43 | 0,57 | Einheitswurzel nicht abgelehnt → nicht-stationär |
| Arbeitslosenquote (Niveau) | −1,89 | 0,34 | Einheitswurzel nicht abgelehnt → nicht-stationär |
| BIP (1. Differenz) | −6,12 | < 0,01 | Einheitswurzel abgelehnt → stationär |
| Arbeitslosenquote (1. Differenz) | −5,74 | < 0,01 | Einheitswurzel abgelehnt → stationär |
Beide Reihen sind im Niveau nicht-stationär (p > 0,05, Nullhypothese wird nicht abgelehnt), nach einmaliger Differenzierung aber stationär. Die Studierende arbeitet daher mit den ersten Differenzen weiter – oder prüft zusätzlich, ob zwischen den ursprünglichen Niveaureihen eine Kointegrationsbeziehung besteht, die eine gemeinsame Analyse dennoch erlauben würde.
