Erwartungswert
In diesem Beitrag
Was versteht man unter Erwartungswert?
Der Erwartungswert ist ein zentrales Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Er beschreibt den gewichteten Durchschnitt aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen, wobei jeder Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet wird. Man kann ihn als den Wert verstehen, den man im Durchschnitt erhält, wenn man ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt.
Diskrete Zufallsvariablen
Bei einer diskreten Zufallsvariablen mit den möglichen Werten und zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnet sich der Erwartungswert als:
Formel: Erwartungswert (diskret)
Stetige Zufallsvariablen
Für stetige Zufallsvariablen, bei denen unendlich viele Werte möglich sind, wird die Summe durch ein Integral ersetzt. Die Wahrscheinlichkeit einzelner Werte wird dabei durch die Dichtefunktion ausgedrückt:
Formel: Erwartungswert (stetig)
Der Erwartungswert wird üblicherweise mit oder dem griechischen Buchstaben bezeichnet.
Warum ist der Erwartungswert für statistische Analysen wichtig?
Der Erwartungswert ist aus mehreren Gründen unverzichtbar in der Statistik:
- Maß der zentralen Tendenz: Er beschreibt, wo sich eine Verteilung im Durchschnitt befindet – ähnlich wie der arithmetische Mittelwert bei einer Stichprobe.
- Grundlage für weitere Kennzahlen: Viele wichtige statistische Maße, darunter die Varianz und die Standardabweichung, bauen direkt auf dem Erwartungswert auf.
- Entscheidungstheorie: In der Wirtschafts- und Sozialwissenschaft wird der Erwartungswert genutzt, um Entscheidungen unter Unsicherheit rational zu bewerten – etwa beim Vergleich verschiedener Handlungsoptionen.
- Schätztheorie: Ein Schätzer heißt erwartungstreu, wenn sein Erwartungswert gleich dem wahren Parameterwert in der Population ist. Das ist ein grundlegendes Gütekriterium in der Inferenzstatistik.
Praxisbeispiel zu Erwartungswert
Angenommen, du untersuchst die Anzahl der Fehler in einem Fragebogen. Aus vergangenen Studien weißt du, dass die folgende Verteilung gilt:
| Anzahl Fehler (x) | Wahrscheinlichkeit P(X = x) | Produkt x · P(X = x) |
|---|---|---|
| 0 | 0,50 | 0,00 |
| 1 | 0,30 | 0,30 |
| 2 | 0,15 | 0,30 |
| 3 | 0,05 | 0,15 |
| Summe | 1,00 | 0,75 |
Der Erwartungswert berechnet sich als Summe der Produkte aus Wert und Wahrscheinlichkeit:
Berechnung im Beispiel
Das Ergebnis bedeutet: Im Durchschnitt enthält ein Fragebogen 0,75 Fehler. Wenn du also 100 Fragebögen auswerten würdest, wärst du – rein rechnerisch – mit insgesamt etwa 75 Fehlern zu rechnen. Für die Planung von Korrekturkapazitäten oder die Qualitätssicherung ist diese Information direkt verwertbar.
