Exzess / Wölbung
In diesem Beitrag
Was versteht man unter Exzess / Wölbung?
Die Wölbung (auch Kurtosis genannt) ist ein statistisches Maß, das beschreibt, wie stark die Verteilung einer Variablen im Vergleich zu einer Normalverteilung in den Randbereichen – den sogenannten Tails – ausgeprägt ist und wie spitz oder flach der Gipfel der Verteilung ist. Sie ist das vierte zentrale Moment einer Verteilung, normiert durch die vierte Potenz der Standardabweichung:
Formel: Kurtosis
Die Normalverteilung hat eine Kurtosis von 3. Da es oft praktischer ist, einen Referenzwert von 0 zu haben, wird häufig der Exzess (englisch: Excess Kurtosis) verwendet, der sich aus der Kurtosis minus 3 ergibt:
Formel: Exzess (Excess Kurtosis)
Anhand des Exzess lassen sich drei Verteilungstypen unterscheiden:
- Exzess = 0 (mesokurtisch): Die Verteilung verhält sich wie eine Normalverteilung.
- Exzess > 0 (leptokurtisch): Die Verteilung hat einen spitzeren Gipfel und schwerere Ränder – Extremwerte treten häufiger auf als bei der Normalverteilung.
- Exzess < 0 (platykurtisch): Die Verteilung ist flacher und hat leichtere Ränder – Extremwerte sind seltener als bei der Normalverteilung.
Warum ist Exzess / Wölbung für statistische Analysen wichtig?
Viele statistische Verfahren – darunter t-Tests, ANOVA und lineare Regression – setzen eine annähernd normalverteilte Variable voraus. Neben der Schiefe ist der Exzess ein wichtiges Kriterium, um diese Voraussetzung zu überprüfen. Eine stark von 0 abweichende Wölbung kann darauf hindeuten, dass die Normalverteilungsannahme verletzt ist und robustere Verfahren oder Datentransformationen notwendig werden.
Besonders in der Finanzwirtschaft und Risikoanalyse spielt der Exzess eine zentrale Rolle: Finanzdaten wie Aktienrenditen zeigen häufig einen positiven Exzess (Fat Tails). Das bedeutet, extreme Ereignisse – also sehr große Gewinne oder Verluste – treten häufiger auf, als ein normalverteiltes Modell vorhersagen würde. Wer diesen Umstand ignoriert, unterschätzt systematisch das Risiko.
Als grobe Faustregel gilt in der Praxis: Liegt der Exzess zwischen −1 und +1, ist die Abweichung von der Normalverteilung meist noch tolerierbar. Werte außerhalb dieses Bereichs sollten genauer untersucht werden, zum Beispiel mit formalen Tests wie dem Kolmogorov-Smirnov-Test oder dem Shapiro-Wilk-Test.
Praxisbeispiel zu Exzess / Wölbung
Eine Psychologiestudentin untersucht in ihrer Bachelorarbeit die Reaktionszeiten von 200 Probanden in einem Aufmerksamkeitstest. Bevor sie eine einfaktorielle ANOVA durchführt, prüft sie die Normalverteilungsannahme. Neben einem Histogramm berechnet sie auch Schiefe und Exzess ihrer Daten.
| Kennwert | Wert | Interpretation |
|---|---|---|
| Mittelwert | 342 ms | – |
| Standardabweichung | 58 ms | – |
| Schiefe | 0,31 | Leicht rechtsschiefe, unkritisch |
| Exzess | 2,84 | Stark leptokurtisch – viele Extremwerte |
Der Exzess von 2,84 zeigt, dass die Verteilung deutlich spitzer ist als eine Normalverteilung und vergleichsweise viele sehr langsame Reaktionszeiten (Ausreißer nach oben) enthält. Die Studentin entscheidet sich daraufhin, zusätzlich zum parametrischen Test eine robuste Variante (Welch-ANOVA) zu berechnen und die Ergebnisse zu vergleichen. Diese Vorgehensweise ist methodisch sauber und stärkt die Glaubwürdigkeit ihrer Ergebnisse.
