Statistik-Glossar

Feasible GLS (FGLS)

Feasible Generalized Least Squares / Machbares verallgemeinertes Kleinste-Quadrate-Verfahren · Maximilian Fuchs · 24. April 2026 · 5 Min. Lesezeit

In diesem Beitrag

Was versteht man unter Feasible GLS?
Warum ist Feasible GLS für statistische Analysen wichtig?
Praxisbeispiel

Was versteht man unter Feasible GLS (FGLS)?

Das Feasible Generalized Least Squares (FGLS)-Verfahren ist eine Erweiterung der gewöhnlichen Kleinste-Quadrate-Schätzung (OLS), die eingesetzt wird, wenn die Fehlerterme eines Regressionsmodells nicht die klassischen Annahmen erfüllen – konkret: wenn Heteroskedastizität (ungleiche Fehlervarianzen) oder Autokorrelation (serielle Abhängigkeit der Fehler) vorliegen.

Das ideale, aber in der Praxis nicht direkt anwendbare Verfahren ist das Generalized Least Squares (GLS). GLS liefert effiziente und unverzerrte Schätzer, setzt aber voraus, dass die Kovarianzmatrix der Fehlerterme $\Omega$ vollständig bekannt ist. Da diese Matrix in realen Anwendungen unbekannt ist, wird sie zunächst aus den Daten geschätzt. Das daraus resultierende Verfahren – GLS mit einer geschätzten Fehlerkovarianzmatrix – nennt man Feasible GLS.

Der typische Ablauf des FGLS gliedert sich in zwei Schritte:

Schritt 1: OLS-Schätzung des Regressionsmodells und Analyse der Residuen, um die Struktur der Fehlerkovarianzmatrix $\Omega$ zu schätzen.
Schritt 2: Einsetzen der geschätzten Matrix $\hat{\Omega}$ in den GLS-Schätzer, um effizientere Koeffizientenschätzer zu erhalten.

Formal lautet der FGLS-Schätzer:

FGLS-Schätzer

$\hat{\beta}_{FGLS} = \left(X^\top \hat{\Omega}^{-1} X\right)^{-1} X^\top \hat{\Omega}^{-1} y$

Dabei ist $X$ die Designmatrix der Regressoren und $\hat{\Omega}$ die geschätzte Kovarianzmatrix der Fehler.

Einfach erklärt Stell dir vor, du misst etwas mit einem Lineal, aber bei manchen Werten ist das Lineal ungenauer als bei anderen. Normale Regression behandelt alle Messungen gleich – FGLS hingegen berücksichtigt, welche Messungen zuverlässiger sind, und gewichtet diese stärker. Da man aber nie exakt weiß, wie ungenau jede Messung ist, schätzt man das zunächst und nutzt diese Schätzung dann für eine verbesserte Berechnung.

Warum ist Feasible GLS für statistische Analysen wichtig?

Wenn Heteroskedastizität oder Autokorrelation im Modell vorliegen und ignoriert werden, liefert OLS zwar noch unverzerrte Schätzer für die Regressionskoeffizienten, aber die Standardfehler sind falsch. Das führt zu ungültigen Hypothesentests und irreführenden Konfidenzintervallen. FGLS adressiert dieses Problem direkt, indem es die Fehlerstruktur explizit modelliert und so effizientere Schätzer als OLS liefert.

FGLS ist besonders relevant in folgenden Situationen:

Querschnittsdaten mit Heteroskedastizität: Wenn die Fehlervarianz systematisch mit einer erklärenden Variable zusammenhängt (z. B. Einkommenseffekte in Haushaltsbefragungen).
Zeitreihendaten mit Autokorrelation: Wenn Fehler aufeinanderfolgender Beobachtungen korreliert sind, etwa bei ökonomischen Zeitreihen.
Paneldaten: FGLS-basierte Schätzer wie das Random-Effects-Modell nutzen eine ähnliche Logik.

Häufiger Fehler FGLS liefert nur dann bessere Ergebnisse als OLS, wenn die Fehlerstruktur korrekt spezifiziert und gut geschätzt wird. Wird die Kovarianzmatrix falsch modelliert, können FGLS-Schätzer sogar schlechter abschneiden als OLS. Außerdem sind die asymptotischen Effizienzvorteile von FGLS bei kleinen Stichproben oft gering oder nicht verlässlich.

Gut zu wissen Eine verbreitete Alternative zu FGLS ist die Verwendung von robusten Standardfehlern (z. B. Heteroskedastizitäts-konsistente Standardfehler nach White). Dabei werden die OLS-Koeffizientenschätzer beibehalten, aber die Standardfehler korrigiert. FGLS verändert hingegen die Schätzer selbst und zielt auf Effizienzgewinne ab.

Praxisbeispiel zu Feasible GLS (FGLS)

Angenommen, du analysierst, wie das monatliche Haushaltseinkommen die Konsumausgaben beeinflusst. Du schätzt zunächst ein einfaches OLS-Modell und stellst bei der Residualanalyse fest, dass die Streuung der Residuen mit steigendem Einkommen zunimmt – ein klassisches Zeichen für Heteroskedastizität.

Tabelle 1. Vergleich von OLS und FGLS im Konsumbeispiel (vereinfacht)
Methode	Koeffizient (Einkommen)	Standardfehler	t-Wert
OLS	0,72	0,09	8,0
FGLS	0,71	0,06	11,8

Das Beispiel zeigt: Die Koeffizientenschätzer sind ähnlich, aber der Standardfehler beim FGLS ist deutlich kleiner. Das liegt daran, dass FGLS die bekannte Fehlerstruktur ausnutzt und Beobachtungen mit geringerer Streuung stärker gewichtet. Das Ergebnis ist eine präzisere Schätzung mit höherer statistischer Power.

In der Praxis würde man dafür etwa ein Weighted Least Squares (WLS)-Verfahren einsetzen – eine spezielle Form von FGLS, bei der angenommen wird, dass die Fehlervarianz proportional zu einer bekannten Variable (hier: dem Einkommen) ist.