Gleichverteilung
In diesem Beitrag
Was versteht man unter Gleichverteilung?
Die Gleichverteilung (engl. Uniform Distribution) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Man unterscheidet zwei Varianten:
Diskrete Gleichverteilung
Bei einer diskreten Gleichverteilung gibt es eine endliche Anzahl von n möglichen Ergebnissen, von denen jedes dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzt. Die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis beträgt:
Diskrete Gleichverteilung
Stetige Gleichverteilung
Bei der stetigen Gleichverteilung sind alle Werte in einem Intervall [a, b] gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist konstant und lautet:
Stetige Gleichverteilung – Dichtefunktion
Erwartungswert und Varianz der stetigen Gleichverteilung ergeben sich aus den Grenzen des Intervalls:
Erwartungswert und Varianz
Warum ist Gleichverteilung für statistische Analysen wichtig?
Die Gleichverteilung spielt in der Statistik und Forschungspraxis eine zentrale Rolle – vor allem in drei Bereichen:
- Zufallszahlengenerierung: Viele statistische Simulationen und computerbasierte Verfahren erzeugen zunächst gleichverteilte Zufallszahlen, aus denen dann andere Verteilungen abgeleitet werden.
- Modellierung ohne Vorinformation: Wenn keine Vorinformation darüber vorliegt, welche Werte wahrscheinlicher sind als andere, ist die Gleichverteilung ein neutraler Ausgangspunkt – etwa als nicht-informativer Prior in der Bayes-Statistik.
- Referenzverteilung und Tests: Die Gleichverteilung dient als Referenz, um zu prüfen, ob beobachtete Daten tatsächlich gleichmäßig verteilt sind, zum Beispiel beim Chi-Quadrat-Anpassungstest.
runif() in R oder numpy.random.uniform() in Python. Praxisbeispiel zu Gleichverteilung
Stell dir vor, du untersuchst, ob eine Würfelseite bei einem bestimmten Würfel bevorzugt wird. Du wirfst den Würfel 60-mal und notierst, wie oft jede Seite fällt. Wenn der Würfel fair ist, erwartest du eine diskrete Gleichverteilung: Jede Seite sollte im Durchschnitt etwa 10-mal fallen.
| Seite | Erwartet (Gleichverteilung) | Beobachtet |
|---|---|---|
| 1 | 10 | 8 |
| 2 | 10 | 12 |
| 3 | 10 | 9 |
| 4 | 10 | 11 |
| 5 | 10 | 14 |
| 6 | 10 | 6 |
Die Abweichungen zwischen erwartet und beobachtet sind hier relativ klein und könnten rein zufällig sein. Mit einem Chi-Quadrat-Anpassungstest lässt sich statistisch prüfen, ob die beobachteten Häufigkeiten signifikant von der Gleichverteilung abweichen – oder ob die Unterschiede innerhalb des normalen Zufallsbereichs liegen.
Ebenso lässt sich die stetige Gleichverteilung anwenden: Wenn eine Busabfahrt gleichmäßig zwischen 8:00 und 8:30 Uhr erfolgt, ist die genaue Abfahrtszeit gleichverteilt auf dem Intervall [0, 30] Minuten. Der Erwartungswert liegt dann bei 15 Minuten nach 8:00 Uhr – sprich: Im Mittel fährt der Bus um 8:15 Uhr ab.
