Hebelwert
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Was versteht man unter Hebelwert?
Der Hebelwert (englisch: leverage) ist ein Maß aus der Regressionsdiagnostik. Er gibt an, wie weit der Wert einer Beobachtung auf den Prädiktoren (den unabhängigen Variablen) vom Durchschnitt aller Beobachtungen entfernt liegt. Je extremer eine Beobachtung im Prädiktorraum liegt, desto größer ist ihr Hebelwert – und desto stärker kann sie die geschätzte Regressionsgerade beeinflussen.
Formal stammt der Hebelwert aus der sogenannten Hat-Matrix H, die in der linearen Regression wie folgt definiert ist:
Hat-Matrix
Die Hat-Matrix projiziert den Vektor der beobachteten Werte y auf den Vektor der gefitteten Werte ŷ. Der Hebelwert hii einer einzelnen Beobachtung i ist das entsprechende Diagonalelement dieser Matrix:
Hebelwert einer Beobachtung
Der Hebelwert liegt immer zwischen 0 und 1, also . Als Faustregel gilt: Eine Beobachtung hat einen auffällig hohen Hebelwert, wenn gilt:
Daumenregel für hohen Hebelwert
Dabei steht p für die Anzahl der Modellparameter (inklusive Intercept) und n für die Stichprobengröße.
Warum ist der Hebelwert für statistische Analysen wichtig?
In der multiplen linearen Regression reicht es nicht aus, nur auf Ausreißer in der abhängigen Variable zu achten. Eine Beobachtung kann im Raum der Prädiktoren sehr weit vom Schwerpunkt der Daten entfernt liegen, ohne dass ihr Residuum auf den ersten Blick auffällig wäre. Genau hier hilft der Hebelwert: Er macht sichtbar, welche Beobachtungen das Regressionsergebnis strukturell dominieren können.
Wichtig ist die Unterscheidung zwischen Hebelwert und tatsächlichem Einfluss:
- Ein hoher Hebelwert allein bedeutet noch nicht, dass eine Beobachtung die Regressionskoeffizienten verzerrt. Sie hat lediglich das Potenzial dazu.
- Erst wenn eine Beobachtung gleichzeitig einen hohen Hebelwert und ein großes Residuum aufweist, wird sie tatsächlich einflussreich – messbar etwa durch Cook’s D.
Der Hebelwert ist daher immer als Teil einer umfassenderen Einflussdiagnostik zu verstehen. Typische ergänzende Maße sind Cook’s D, DFBETAs und DFFITS.
Praxisbeispiel zu Hebelwert
Eine Forscherin untersucht den Zusammenhang zwischen dem Alter von Unternehmen (in Jahren) und ihrem Jahresumsatz (in Mio. Euro). Sie hat 50 Unternehmen in ihrer Stichprobe – alle mit einem Alter zwischen 2 und 30 Jahren. Ein Unternehmen ist jedoch 95 Jahre alt und damit weit vom Durchschnitt entfernt.
| Unternehmen | Alter (Jahre) | Umsatz (Mio. €) | Hebelwert hii |
|---|---|---|---|
| A | 8 | 12,4 | 0,021 |
| B | 15 | 18,0 | 0,020 |
| C | 22 | 24,7 | 0,023 |
| D (Ausreißer) | 95 | 19,1 | 0,412 |
Mit p = 2 (Intercept + ein Prädiktor) und n = 50 ergibt die Daumenregel einen Grenzwert von . Unternehmen D überschreitet diesen Wert deutlich. Sein Umsatz (19,1 Mio. €) ist dabei nicht ungewöhnlich hoch – das Residuum ist also relativ klein. Dennoch sollte die Forscherin prüfen, wie stark sich die Regressionsgerade verändert, wenn Unternehmen D aus der Analyse ausgeschlossen wird. Bleibt das Ergebnis stabil, ist der hohe Hebelwert unkritisch. Verändert sich die Steigung merklich, liegt echter Einfluss vor.
hatvalues(modell) berechnen. In SPSS findet man ihn unter den gespeicherten Residuen als „Leverage-Wert“. Viele Statistikprogramme bieten auch grafische Darstellungen (z. B. Index-Plots), die auffällige Beobachtungen direkt sichtbar machen.
