Kendall-Tau
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Was versteht man unter Kendall-Tau?
Kendall-Tau (auch: Kendall’s τ) ist ein nicht-parametrischer Korrelationskoeffizient, der den Zusammenhang zwischen zwei Variablen auf Basis ihrer Rangordnung misst. Er wurde 1938 vom britischen Statistiker Maurice Kendall entwickelt und gehört neben dem Spearman-Rangkorrelationskoeffizienten zu den gebräuchlichsten Maßzahlen für Rangkorrelationen.
Grundlage des Koeffizienten ist die Idee der Konkordanz und Diskordanz: Man betrachtet alle möglichen Paare von Beobachtungen und prüft, ob ihre Rangfolge in beiden Variablen übereinstimmt (konkordant) oder nicht übereinstimmt (diskordant). Das am häufigsten verwendete Maß ist Kendall-Tau-b, das auch Bindungen (Ties) – also gleiche Rangwerte – berücksichtigt:
Formel: Kendall-Tau-b
Dabei ist C die Anzahl konkordanter Paare und D die Anzahl diskordanter Paare. Die Terme im Nenner korrigieren für Bindungen in der ersten bzw. zweiten Variable. Der Wertebereich liegt zwischen −1 und +1:
- τ = +1: perfekte positive Übereinstimmung der Rangfolgen
- τ = 0: kein systematischer Zusammenhang
- τ = −1: perfekte negative Übereinstimmung der Rangfolgen
Warum ist Kendall-Tau für statistische Analysen wichtig?
Kendall-Tau ist immer dann eine gute Wahl, wenn mindestens eine der folgenden Bedingungen zutrifft:
- Die Daten sind ordinalskaliert (z. B. Schulnoten, Likert-Skalen, Ranglisten).
- Die Normalverteilungsannahme ist nicht erfüllt oder kann nicht geprüft werden.
- Der Datensatz ist klein oder enthält Ausreißer, die parametrische Verfahren verzerren würden.
- Es gibt viele Bindungen (Ties) in den Daten – hier ist Tau-b dem einfacheren Tau-a vorzuziehen.
Im Vergleich zu Spearmans ρ liefert Kendall-Tau bei kleinen Stichproben robustere Ergebnisse und ist statistisch leichter zu interpretieren, da es direkt als Wahrscheinlichkeitsdifferenz gelesen werden kann: τ = 0,4 bedeutet, dass konkordante Paare um 40 Prozentpunkte häufiger auftreten als diskordante Paare. Allerdings ist Kendall-Tau rechnerisch aufwändiger und liefert bei denselben Daten in der Regel etwas kleinere Absolutwerte als Spearmans ρ – was kein Nachteil ist, sondern eine andere Skalierung widerspiegelt.
Praxisbeispiel zu Kendall-Tau
Eine Bildungsforscherin möchte wissen, ob die Bewertung von Schüleraufsätzen durch zwei unabhängige Lehrkräfte übereinstimmt. Fünf Aufsätze wurden von beiden Lehrkräften mit Rangplätzen von 1 (bester Aufsatz) bis 5 (schlechtester Aufsatz) bewertet:
| Aufsatz | Rang Lehrkraft A | Rang Lehrkraft B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 1 |
| 3 | 3 | 3 |
| 4 | 4 | 5 |
| 5 | 5 | 4 |
Beim paarweisen Vergleich aller = 10 Paare ergibt sich: 8 konkordante Paare (C = 8) und 2 diskordante Paare (D = 2). Da keine Bindungen vorliegen, vereinfacht sich die Formel zu:
Berechnung
Ein Kendall-Tau von 0,6 zeigt eine deutliche positive Übereinstimmung zwischen den beiden Lehrkräften: In 60 % mehr Paaren stimmen ihre Rangeinschätzungen überein, als sie voneinander abweichen. Die Beurteilung ist also tendenziell konsistent – aber nicht perfekt, was auf leichte Unterschiede in der Bewertungspraxis hindeutet.
