Kolmogorov-Smirnov-Test
In diesem Beitrag
Was versteht man unter dem Kolmogorov-Smirnov-Test?
Der Kolmogorov-Smirnov-Test (kurz: KS-Test) ist ein nichtparametrischer statistischer Test, der prüft, ob eine Stichprobe einer bestimmten theoretischen Verteilung folgt (Einstichprobentest) oder ob zwei Stichproben aus derselben Grundgesamtheit stammen (Zweistichprobentest). Der Test basiert auf dem Vergleich von Verteilungsfunktionen.
Im Einstichprobenfall wird die empirische Verteilungsfunktion Fn(x) der Stichprobe mit einer vorgegebenen theoretischen Verteilungsfunktion F0(x) verglichen. Die Teststatistik D ist die größte absolute Abweichung zwischen beiden Funktionen:
Teststatistik (Einstichprobentest)
Je größer D, desto stärker weicht die Stichprobenverteilung von der theoretischen Verteilung ab. Übersteigt D einen kritischen Wert, wird die Nullhypothese abgelehnt. Die Nullhypothese lautet dabei stets: Die Daten folgen der angegebenen Verteilung.
Warum ist der Kolmogorov-Smirnov-Test für statistische Analysen wichtig?
Viele statistische Verfahren – darunter t-Tests, ANOVAs oder lineare Regressionen – setzen voraus, dass die Daten (oder die Residuen) normalverteilt sind. Bevor man solche Verfahren anwendet, sollte man diese Voraussetzung prüfen. Der KS-Test ist eine Möglichkeit dafür.
Ein wichtiger Vorteil des KS-Tests liegt darin, dass er keine Annahmen über die Form der zugrundeliegenden Verteilung macht – er ist also nichtparametrisch. Damit kann er auf beliebige kontinuierliche Verteilungen angewendet werden, nicht nur auf die Normalverteilung.
In der Praxis wird der KS-Test häufig für folgende Zwecke genutzt:
- Normalverteilungsprüfung vor parametrischen Tests
- Vergleich zweier empirischer Stichprobenverteilungen
- Qualitätskontrolle und Modellvalidierung in der angewandten Statistik
Praxisbeispiel zum Kolmogorov-Smirnov-Test
Eine Studierende möchte prüfen, ob die Prüfungspunkte von 80 Studierenden normalverteilt sind, bevor sie einen t-Test durchführt. Sie berechnet die empirische Verteilungsfunktion ihrer Daten und vergleicht sie mit der theoretischen Normalverteilung, die auf Mittelwert und Standardabweichung ihrer Stichprobe basiert.
| Kennzahl | Wert |
|---|---|
| Stichprobengröße (n) | 80 |
| Teststatistik D | 0,082 |
| p-Wert | 0,623 |
| Signifikanzniveau α | 0,05 |
| Entscheidung | H0 wird nicht abgelehnt |
Der p-Wert von 0,623 liegt deutlich über dem Signifikanzniveau von 0,05. Die Nullhypothese – die Daten sind normalverteilt – wird daher nicht abgelehnt. Die Studierende kann davon ausgehen, dass die Normalverteilungsvoraussetzung für ihren geplanten t-Test erfüllt ist, und darf mit der eigentlichen Analyse fortfahren.
Wichtig: „Nicht abgelehnt“ bedeutet nicht „bewiesen“. Der Test liefert lediglich keinen hinreichenden Grund, die Normalverteilungsannahme zu verwerfen.
