Kumulative Häufigkeit
In diesem Beitrag
Was versteht man unter Kumulativer Häufigkeit?
Die kumulative Häufigkeit (auch: kumulierte Häufigkeit) gibt an, wie viele Beobachtungen in einem Datensatz einen bestimmten Wert oder einen kleineren Wert annehmen. Sie entsteht, indem man die Häufigkeiten der einzelnen Ausprägungen der Reihe nach aufaddiert – also aufkumuliert.
Man unterscheidet zwei Varianten:
- Absolute kumulative Häufigkeit : Die aufsummierte Anzahl der Beobachtungen bis einschließlich der Ausprägung xi.
- Relative kumulative Häufigkeit : Der aufsummierte Anteil (Proportion) der Beobachtungen bis einschließlich der Ausprägung xi; liegt immer zwischen 0 und 1.
Formel – Relative kumulative Häufigkeit
Dabei ist die relative Häufigkeit der Ausprägung j und n die Gesamtzahl der Beobachtungen. Die relative kumulative Häufigkeit am letzten Wert beträgt immer genau 1 (bzw. 100 %).
Warum ist Kumulative Häufigkeit für statistische Analysen wichtig?
Die kumulative Häufigkeit ist ein grundlegendes Werkzeug in der deskriptiven Statistik. Sie bildet die Basis für mehrere wichtige Konzepte und Darstellungsformen:
- Quantile und Perzentile: Median, Quartile und andere Quantile lassen sich direkt aus der kumulativen Häufigkeitsverteilung ablesen. Der Median liegt dort, wo die relative kumulative Häufigkeit 0,5 erreicht.
- Empirische Verteilungsfunktion: Die relative kumulative Häufigkeit entspricht der empirischen Verteilungsfunktion – sie zeigt, wie sich die Daten über den Wertebereich verteilen.
- Ogive (Summenkurve): Die grafische Darstellung der kumulativen Häufigkeiten wird als Ogive oder Summenkurve bezeichnet und macht Verteilungsformen auf einen Blick sichtbar.
- Vergleich von Gruppen: Kumulative Häufigkeiten ermöglichen es, Verteilungen verschiedener Gruppen direkt zu vergleichen – etwa in der Lorenzkurve zur Darstellung von Ungleichheit.
cumsum() die kumulierten Werte eines Vektors. Praxisbeispiel zu Kumulativer Häufigkeit
In einer Studie werden 40 Studierende nach ihrer wöchentlichen Lernzeit (in Stunden) befragt. Die Antworten werden in Kategorien eingeteilt. Die folgende Tabelle zeigt absolute Häufigkeiten, relative Häufigkeiten sowie die daraus berechneten kumulativen Häufigkeiten:
| Lernzeit (Std./Woche) | Absolute Häufigkeit | Relative Häufigkeit | Kum. abs. Häufigkeit | Kum. rel. Häufigkeit |
|---|---|---|---|---|
| 0 – 5 | 6 | 0,15 | 6 | 0,15 |
| 6 – 10 | 12 | 0,30 | 18 | 0,45 |
| 11 – 15 | 14 | 0,35 | 32 | 0,80 |
| 16 – 20 | 8 | 0,20 | 40 | 1,00 |
Aus der Tabelle lässt sich direkt ablesen: 80 % der befragten Studierenden lernen höchstens 15 Stunden pro Woche. Der Median liegt in der Kategorie 6–10 Stunden, weil dort die kumulative relative Häufigkeit erstmals die Marke von 0,50 überschreitet (Wert: 0,45 nach der zweiten Kategorie, also knapp darunter – der Median liegt demnach in der dritten Kategorie bei 11–15 Stunden).
Dieses einfache Beispiel zeigt, wie viel Information in einer kumulativen Häufigkeitstabelle steckt: Man erkennt nicht nur, wie viele Beobachtungen in eine Kategorie fallen, sondern auch, wie sich die gesamte Verteilung bis zu einem bestimmten Punkt zusammensetzt.
