Kurtosis
In diesem Beitrag
Was versteht man unter Kurtosis?
Die Kurtosis (auch: Wölbung) ist ein statistisches Maß, das beschreibt, wie stark die Ränder einer Verteilung im Vergleich zu einer Normalverteilung ausgeprägt sind. Technisch gesprochen misst sie die Steilheit oder Flachheit einer Verteilung rund um ihren Mittelpunkt – genauer gesagt, wie viel des Streuungsanteils auf extreme Werte (sogenannte Ausreißer) entfällt.
Die Kurtosis wird über das standardisierte vierte zentrale Moment berechnet:
Formel: Kurtosis
Dabei steht für die einzelnen Beobachtungswerte, für den Mittelwert, für die Standardabweichung und für die Anzahl der Beobachtungen.
Eine Normalverteilung hat eine Kurtosis von 3. In der Praxis wird häufig die sogenannte Exzess-Kurtosis (auch: Überschusskurtosis) verwendet, bei der dieser Referenzwert abgezogen wird:
Formel: Exzess-Kurtosis
Bei der Exzess-Kurtosis gilt: Ein Wert von 0 entspricht einer Normalverteilung. Positive Werte zeigen eine spitzere Verteilung mit schweren Rändern an (leptokurtisch), negative Werte eine flachere Verteilung mit leichten Rändern (platykurtisch).
| Exzess-Kurtosis | Bezeichnung | Bedeutung |
|---|---|---|
| = 0 | Mesokurtisch | Wie eine Normalverteilung |
| > 0 | Leptokurtisch | Spitzer Gipfel, schwere Ränder, mehr Ausreißer |
| < 0 | Platykurtisch | Flacher Gipfel, leichte Ränder, weniger Ausreißer |
Warum ist Kurtosis für statistische Analysen wichtig?
Viele statistische Verfahren – etwa die lineare Regression, t-Tests oder ANOVAs – setzen voraus, dass die Daten (annähernd) normalverteilt sind. Die Kurtosis ist neben der Schiefe ein wichtiges Hilfsmittel, um diese Annahme zu überprüfen. Weicht die Kurtosis deutlich von 0 ab, kann das ein Hinweis darauf sein, dass die Normalverteilungsannahme verletzt ist.
Besonders relevant ist die Kurtosis in folgenden Situationen:
- Risikoanalysen und Finanzdaten: Finanzrenditen zeigen häufig eine stark positive Kurtosis. Das bedeutet, dass extreme Kursausschläge häufiger auftreten als eine Normalverteilung erwarten ließe – ein Befund, der für das Risikomanagement entscheidend ist.
- Vor dem Einsatz parametrischer Tests: Eine hohe Kurtosis signalisiert, dass viele Ausreißer in den Daten vorhanden sind. Das kann Ergebnisse von Tests wie dem t-Test verzerren.
- Normalverteilungstests: Tests wie der Shapiro-Wilk-Test oder der Kolmogorov-Smirnov-Test prüfen die Normalverteilung formal. Die Kurtosis liefert dabei ergänzende, anschauliche Information.
Praxisbeispiel zu Kurtosis
Angenommen, du untersuchst die Prüfungsnoten von 200 Studierenden in zwei verschiedenen Kursen. In beiden Kursen beträgt der Mittelwert 72 Punkte und die Standardabweichung 10 Punkte – die Verteilungen sehen auf den ersten Blick ähnlich aus.
Ein Blick auf die Exzess-Kurtosis zeigt jedoch:
| Kurs | Mittelwert | Standardabweichung | Exzess-Kurtosis | Interpretation |
|---|---|---|---|---|
| Kurs A | 72 | 10 | +2,8 | Viele mittlere Noten, aber auch einzelne sehr schlechte und sehr gute Ausreißer |
| Kurs B | 72 | 10 | −1,1 | Noten gleichmäßiger verteilt, wenige extreme Werte |
In Kurs A häufen sich die Noten stark um den Mittelwert, gleichzeitig gibt es einige wenige Studierende mit sehr schlechten oder sehr guten Ergebnissen. In Kurs B ist das Leistungsbild gleichmäßiger – es gibt kaum auffällige Ausreißer nach oben oder unten.
Für deine statistische Analyse bedeutet das: Planst du einen t-Test, um die Kurse zu vergleichen, solltest du bei Kurs A aufgrund der erhöhten Kurtosis prüfen, ob die Normalverteilungsannahme noch hält – oder ob ein nicht-parametrisches Verfahren sinnvoller wäre.
