Likelihood-Ratio-Test
In diesem Beitrag
Was versteht man unter dem Likelihood-Ratio-Test?
Der Likelihood-Ratio-Test (kurz: LR-Test) ist ein statistisches Testverfahren, das zwei konkurrierende Modelle miteinander vergleicht: ein eingeschränktes Modell (Nullhypothese) und ein erweitertes Modell (Alternativhypothese). Geprüft wird, ob das erweiterte Modell die Daten deutlich besser beschreibt als das einfachere.
Technisch basiert der Test auf der sogenannten Likelihood-Funktion, die angibt, wie gut ein Modell mit bestimmten Parametern die beobachteten Daten erklärt. Der Teststatistik liegt der Quotient beider Likelihood-Werte zugrunde:
Teststatistik des Likelihood-Ratio-Tests
Dabei bezeichnet die maximierte Likelihood des eingeschränkten Modells und die maximierte Likelihood des erweiterten Modells. Da stets kleiner oder gleich ist, nimmt Werte zwischen 0 und 1 an. Je kleiner der Quotient, desto besser schneidet das erweiterte Modell relativ ab.
Aus praktischen Gründen arbeitet man meist mit der logarithmierten Form:
Log-Likelihood-Ratio-Statistik
Unter der Nullhypothese folgt diese Statistik asymptotisch einer Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden, wobei k der Anzahl der zusätzlichen Parameter im erweiterten Modell entspricht. Ist der berechnete Wert größer als der kritische Chi-Quadrat-Wert, wird die Nullhypothese abgelehnt.
Warum ist der Likelihood-Ratio-Test für statistische Analysen wichtig?
Der LR-Test ist eines der vielseitigsten Werkzeuge in der Inferenzstatistik. Er lässt sich in einer Vielzahl von Modellklassen einsetzen – von der logistischen Regression über gemischte Modelle bis hin zu Strukturgleichungsmodellen. Überall dort, wo Modelle per Maximum-Likelihood geschätzt werden, kann der LR-Test für den Modellvergleich genutzt werden.
Der Test ist besonders nützlich, um folgende Fragen zu beantworten:
- Verbessert ein zusätzlicher Prädiktor das Modell signifikant?
- Ist ein komplexeres Modell einem sparsameren Modell vorzuziehen?
- Sind bestimmte Restriktionen (z. B. Gleichheit von Parametern) mit den Daten vereinbar?
Praxisbeispiel zu dem Likelihood-Ratio-Test
Angenommen, du untersuchst, welche Faktoren die Wahrscheinlichkeit beeinflussen, dass Studierende eine Prüfung bestehen. Du schätzt zwei logistische Regressionsmodelle:
| Modell | Prädiktoren | Log-Likelihood | Anzahl Parameter |
|---|---|---|---|
| Modell 0 (eingeschränkt) | Lernstunden | −85,3 | 2 |
| Modell 1 (erweitert) | Lernstunden + Prüfungsangst | −79,1 | 3 |
Die Teststatistik ergibt sich als:
Berechnung der Teststatistik
Mit einem Freiheitsgrad (ein zusätzlicher Parameter) liegt der kritische Chi-Quadrat-Wert bei einem Signifikanzniveau von 5 % bei 3,84. Da , wird die Nullhypothese abgelehnt: Das Modell mit Prüfungsangst als zusätzlichem Prädiktor erklärt die Daten signifikant besser. Die Variable Prüfungsangst trägt also einen bedeutsamen Beitrag zur Vorhersage des Prüfungserfolgs.
