Lineare Regression
In diesem Beitrag
Was versteht man unter Linearer Regression?
Die lineare Regression ist ein statistisches Verfahren, das den Zusammenhang zwischen einer abhängigen Variable (auch: Kriterium oder Outcome) und einer oder mehreren unabhängigen Variablen (auch: Prädiktoren) modelliert. Ziel ist es, diesen Zusammenhang durch eine Gerade – die sogenannte Regressionsgerade – so gut wie möglich zu beschreiben.
Bei der einfachen linearen Regression mit einer einzigen unabhängigen Variable lautet die Modellgleichung:
Regressionsgleichung
Dabei bezeichnet den vorhergesagten Wert der abhängigen Variable, den y-Achsenabschnitt (Intercept), den Regressionskoeffizienten (die Steigung der Geraden) und die unabhängige Variable. Der Term steht für das Residuum, also die Abweichung des tatsächlichen Wertes vom vorhergesagten Wert.
Die Koeffizienten und werden durch die Methode der kleinsten Quadrate (Ordinary Least Squares, OLS) geschätzt: Die Summe der quadrierten Residuen wird dabei minimiert.
Gibt es mehrere unabhängige Variablen, spricht man von einer multiplen linearen Regression.
Warum ist Lineare Regression für statistische Analysen wichtig?
Die lineare Regression gehört zu den am häufigsten eingesetzten Analysemethoden in der empirischen Forschung. Sie erfüllt gleich mehrere Aufgaben:
- Zusammenhänge erklären: Wie stark hängt eine Variable von einer anderen ab? Der Regressionskoeffizient gibt an, um wie viele Einheiten sich die abhängige Variable verändert, wenn die unabhängige Variable um eine Einheit steigt.
- Vorhersagen treffen: Auf Basis bekannter Werte lassen sich Prognosen für neue Beobachtungen berechnen.
- Einflüsse kontrollieren: In der multiplen Regression können störende Drittvariablen statistisch herausgerechnet werden.
Das Modell liefert außerdem das Bestimmtheitsmaß R², das angibt, wie viel Prozent der Streuung der abhängigen Variable durch das Modell erklärt wird. Ein R² von 0,60 bedeutet beispielsweise, dass das Modell 60 % der Varianz erklärt.
Praxisbeispiel zu Linearer Regression
Eine Studentin untersucht, ob die tägliche Lernzeit (in Stunden) die Punktzahl in einer Statistikklausur (0–100 Punkte) vorhersagen kann. Sie erhebt Daten von 80 Kommilitoninnen und Kommilitonen und berechnet eine einfache lineare Regression.
| Koeffizient | Schätzwert | Interpretation |
|---|---|---|
| Intercept (b₀) | 42,0 | Erwartete Punktzahl bei 0 Stunden Lernen |
| Lernzeit (b₁) | 6,5 | Pro zusätzlicher Lernstunde steigt die Punktzahl um 6,5 Punkte |
| R² | 0,54 | 54 % der Varianz in der Punktzahl wird durch die Lernzeit erklärt |
Die Regressionsgleichung lautet demnach: Punktzahl = 42,0 + 6,5 · Lernzeit. Für eine Person, die täglich 3 Stunden lernt, ergibt sich ein vorhergesagter Wert von 42,0 + 6,5 · 3 = 61,5 Punkten. Das R² von 0,54 zeigt, dass die Lernzeit zwar ein relevanter Prädiktor ist, aber noch andere Faktoren – etwa Vorwissen oder Prüfungsangst – die Leistung beeinflussen.
