Linearität
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Was versteht man unter Linearität?
Linearität beschreibt in der Statistik die Annahme, dass der Zusammenhang zwischen einer oder mehreren unabhängigen Variablen (Prädiktoren) und einer abhängigen Variable (Kriterium) durch eine Gerade – bzw. in mehreren Dimensionen durch eine Ebene – beschrieben werden kann. In der einfachen linearen Regression lautet das zugrunde liegende Modell:
Regressionsgleichung
Dabei ist der vorhergesagte Wert der abhängigen Variable, der y-Achsenabschnitt (Intercept), der Regressionskoeffizient (Steigung) und der Wert des Prädiktors. Die Steigung gibt an, um wie viele Einheiten sich verändert, wenn um eine Einheit zunimmt – und zwar unabhängig davon, auf welchem Niveau sich befindet. Genau das ist der Kern der Linearitätsannahme: Der Effekt ist konstant über den gesamten Wertebereich des Prädiktors.
Warum ist Linearität für statistische Analysen wichtig?
Linearität ist eine der zentralen Voraussetzungen der linearen Regression. Wenn diese Annahme verletzt wird, liefert das Modell verzerrte Schätzungen: Die Koeffizienten bilden den tatsächlichen Zusammenhang nicht mehr korrekt ab, Vorhersagen werden ungenau und Schlussfolgerungen können in die falsche Richtung führen.
Zur Prüfung der Linearitätsannahme eignen sich vor allem grafische Methoden:
- Streudiagramm (Scatterplot): Ein einfaches Diagramm der Residuen gegen die vorhergesagten Werte oder gegen den Prädiktor zeigt, ob ein lineares Muster vorliegt oder ob eine systematische Kurvenform erkennbar ist.
- Residualplot: Die Residuen sollten zufällig um die Nulllinie streuen, ohne erkennbare Muster wie ein U oder ein umgekehrtes U.
- LOWESS-Kurve: Eine geglättete Kurve im Streudiagramm kann helfen, nichtlineare Tendenzen sichtbar zu machen.
Wird Linearität verletzt, gibt es verschiedene Lösungsansätze: Variablen lassen sich transformieren (z. B. durch Logarithmierung), quadratische oder polynomiale Terme können ins Modell aufgenommen werden, oder man wechselt zu einem nichtlinearen Modell.
Praxisbeispiel zu Linearität
Eine Forscherin untersucht, ob das monatliche Einkommen (in €) die Lebenszufriedenheit (gemessen auf einer Skala von 0 bis 10) vorhersagt. Sie berechnet eine einfache lineare Regression und erstellt anschließend einen Residualplot.
| Einkommen (€/Monat) | Lebenszufriedenheit (0–10) | Vorhergesagter Wert | Residuum |
|---|---|---|---|
| 1.000 | 4,2 | 4,5 | −0,3 |
| 2.000 | 5,8 | 5,5 | +0,3 |
| 3.000 | 6,4 | 6,5 | −0,1 |
| 4.000 | 7,1 | 7,5 | −0,4 |
| 5.000 | 8,0 | 8,5 | −0,5 |
Die Residuen streuen zufällig und ohne erkennbares Muster um die Nulllinie – ein Hinweis darauf, dass die Linearitätsannahme hier nicht verletzt ist. Hätten die Residuen hingegen eine bogenförmige Kurve gezeigt (erst positiv, dann negativ, dann wieder positiv), wäre das ein klares Zeichen für einen nichtlinearen Zusammenhang. In diesem Fall könnte die Forscherin z. B. einen quadratischen Term des Einkommens ins Modell aufnehmen, um die Kurvenform abzubilden.
