Lognormalverteilung
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Was versteht man unter der Lognormalverteilung?
Eine Zufallsvariable X heißt lognormalverteilt, wenn ihr natürlicher Logarithmus Y = ln(X) normalverteilt ist. Mit anderen Worten: Wenn man alle Beobachtungen logarithmiert, entsteht eine klassische Normalverteilung. Die Verteilung ist definiert für ausschließlich positive Werte (X > 0) und wird durch zwei Parameter beschrieben:
- μ (mu) – Mittelwert der logarithmierten Werte
- σ (sigma) – Standardabweichung der logarithmierten Werte
Die Dichtefunktion der Lognormalverteilung lautet:
Dichtefunktion der Lognormalverteilung
Der Erwartungswert und die Varianz der originalen (nicht-logarithmierten) Variable X ergeben sich als:
Erwartungswert und Varianz
Warum ist die Lognormalverteilung für statistische Analysen wichtig?
Viele reale Messgrößen sind nicht normalverteilt, sondern rechtsschief und strikt positiv. Die Lognormalverteilung bietet hier ein realistisches Modell, ohne auf komplexere Verteilungen zurückgreifen zu müssen. Typische Anwendungsfelder sind:
- Einkommen und Vermögensverteilungen in der Wirtschaft
- Überlebenszeiten und Reaktionszeiten in der Biomedizin
- Aktienkurse und Renditen in der Finanzwissenschaft
- Schadstoffkonzentrationen in der Umweltwissenschaft
- Projektlaufzeiten und Bearbeitungszeiten in der Betriebswirtschaft
Ein entscheidender praktischer Vorteil: Wer mit lognormalverteilten Daten arbeitet, kann sie einfach logarithmieren und anschließend alle vertrauten Methoden der Normalverteilung anwenden – von t-Tests bis zu linearen Regressionen.
Praxisbeispiel zur Lognormalverteilung
Angenommen, du analysierst die monatlichen Nettoeinkommen einer Stichprobe von 500 Berufstätigen für deine Masterarbeit. Ein Histogramm zeigt deutlich: Die Verteilung ist rechtsschief – die meisten Einkommen liegen zwischen 1.500 € und 3.000 €, einige wenige reichen aber bis über 10.000 €.
Du logarithmierst alle Einkommenswerte (natürlicher Logarithmus) und erhältst folgende Kennzahlen für die transformierten Werte:
| Kenngröße | Wert (logarithmiert) | Rücktransformiert (Original-Skala) |
|---|---|---|
| Mittelwert μ | 7,70 | Median: e7,70 ≈ 2.208 € |
| Standardabweichung σ | 0,45 | – |
| Erwartungswert E(X) | – | e7,70 + 0,45²/2 ≈ 2.313 € |
Ein Shapiro-Wilk-Test auf den logarithmierten Werten ergibt keinen signifikanten Befund (p = .38), was die Annahme der Lognormalverteilung stützt. Du kannst nun auf Basis dieser Verteilung Konfidenzintervalle berechnen, Gruppen vergleichen oder Regressionsmodelle auf den logarithmierten Daten schätzen – und die Ergebnisse danach in die Originalskala zurücktransformieren.
