Multivariate Normalverteilung
In diesem Beitrag
Was versteht man unter der multivariaten Normalverteilung?
Die multivariate Normalverteilung ist die Verallgemeinerung der bekannten (eindimensionalen) Normalverteilung auf mehrere Zufallsvariablen gleichzeitig. Statt einer einzigen Variablen betrachtet man einen Zufallsvektor , der aus gemeinsam normalverteilten Variablen besteht.
Eine Zufallsvektor folgt einer multivariaten Normalverteilung, wenn seine Dichtefunktion die folgende Form hat:
Dichtefunktion der multivariaten Normalverteilung
Die Verteilung wird vollständig durch zwei Parameter beschrieben:
- Erwartungswertvektor : Gibt den Mittelpunkt der Verteilung im mehrdimensionalen Raum an – also den Erwartungswert jeder einzelnen Variable.
- Kovarianzmatrix : Eine symmetrische, positiv definite Matrix, die beschreibt, wie stark jede Variable streut und wie stark je zwei Variablen miteinander zusammenhängen (Kovarianzen).
Kurz geschrieben:
Warum ist die multivariate Normalverteilung für statistische Analysen wichtig?
Viele statistische Verfahren setzen voraus, dass die untersuchten Variablen gemeinsam normalverteilt sind – oder verlassen sich zumindest auf diese Annahme, um zuverlässige Ergebnisse zu liefern. Dazu gehören unter anderem:
- Multivariate Varianzanalyse (MANOVA): Testet Mittelwertunterschiede über mehrere abhängige Variablen gleichzeitig.
- Faktorenanalyse und Hauptkomponentenanalyse (PCA): Arbeiten auf Basis von Korrelations- bzw. Kovarianzstrukturen, die bei multivariater Normalverteilung besonders gut interpretierbar sind.
- Strukturgleichungsmodelle (SEM): Nutzen die Normalverteilungsannahme für die Maximum-Likelihood-Schätzung.
- Lineare Diskriminanzanalyse (LDA): Setzt multivariate Normalverteilung innerhalb der Gruppen voraus.
Ein wichtiger Sondereigenschaft: Sind die Variablen eines multivariat normalverteilten Vektors unkorreliert, so sind sie auch stochastisch unabhängig. Das gilt bei anderen Verteilungen nicht automatisch und macht die multivariate Normalverteilung mathematisch besonders handhabbar.
Praxisbeispiel zu multivariaten Normalverteilung
Angenommen, du untersuchst in deiner Masterarbeit den Zusammenhang zwischen drei psychologischen Testergebnissen: Arbeitsgedächtnis, Verarbeitungsgeschwindigkeit und Aufmerksamkeit. Du möchtest eine MANOVA durchführen, um zu prüfen, ob sich zwei Gruppen (z. B. mit und ohne ADHS-Diagnose) in diesen drei Maßen unterscheiden.
Bevor du die MANOVA durchführst, musst du die multivariate Normalverteilung der drei Variablen innerhalb jeder Gruppe prüfen. Deine Annahme lautet:
Annahme für beide Gruppen
Du berechnest die Mahalanobis-Distanz für jeden Beobachtungspunkt – sie misst, wie weit ein Datenpunkt vom Zentrum der Verteilung entfernt ist, unter Berücksichtigung der Kovarianzstruktur. Im Q-Q-Plot sollten die quadrierten Mahalanobis-Distanzen annähernd einer Chi-Quadrat-Verteilung mit p Freiheitsgraden folgen (hier: 3).
| Variable | Gruppe: Kontrolle (MW ± SD) | Gruppe: ADHS (MW ± SD) |
|---|---|---|
| Arbeitsgedächtnis | 105 ± 12 | 91 ± 15 |
| Verarbeitungsgeschwindigkeit | 102 ± 10 | 88 ± 13 |
| Aufmerksamkeit | 99 ± 11 | 85 ± 14 |
Ergibt der Mardia-Test keinen signifikanten Hinweis auf Verletzung der multivariaten Normalverteilung, kannst du die MANOVA zuverlässig durchführen und die Ergebnisse valide interpretieren.
