Multivariater Ausreißer
In diesem Beitrag
Was versteht man unter einem multivariaten Ausreißer?
Ein multivariater Ausreißer ist eine Beobachtung, die im Zusammenspiel mehrerer Variablen eine ungewöhnliche Kombination von Werten aufweist – auch wenn die einzelnen Werte für sich betrachtet völlig unauffällig erscheinen. Anders als ein univariater Ausreißer, der einfach einen extremen Wert auf einer einzigen Variablen zeigt, fällt ein multivariater Ausreißer erst dann auf, wenn man mehrere Variablen gleichzeitig in den Blick nimmt.
Das am häufigsten verwendete Maß zur Identifikation multivariater Ausreißer ist die Mahalanobis-Distanz. Sie misst, wie weit eine Beobachtung vom gemeinsamen Schwerpunkt aller Beobachtungen entfernt ist – und berücksichtigt dabei die Streuung und die Korrelationsstruktur der Variablen. Formal gilt für eine Beobachtung :
Mahalanobis-Distanz
Dabei ist der Mittelwertsvektor aller Variablen und die Kovarianzmatrix der Daten. Je größer der Wert , desto weiter entfernt liegt die Beobachtung vom Zentrum der Datenverteilung. Als Faustregel gilt: Beobachtungen mit einem -Wert, der den kritischen Wert der Chi-Quadrat-Verteilung (mit p Freiheitsgraden, wobei p die Anzahl der Variablen ist) bei einem Signifikanzniveau von 0,001 überschreitet, werden häufig als multivariate Ausreißer eingestuft.
Warum sind multivariate Ausreißer für statistische Analysen wichtig?
Multivariate Ausreißer können viele gängige statistische Verfahren erheblich verzerren. Besonders betroffen sind Methoden, die auf Mittelwerten, Varianzen und Kovarianzen basieren:
- Regressionsanalyse: Einzelne Ausreißer können die Schätzung der Regressionskoeffizienten stark beeinflussen und zu irreführenden Ergebnissen führen.
- Faktorenanalyse und PCA: Die extrahierten Faktoren oder Hauptkomponenten können durch Ausreißer in eine falsche Richtung gezogen werden.
- MANOVA und Diskriminanzanalyse: Die Gruppentrennungen können durch einzelne extreme Beobachtungen verwässert oder überschätzt werden.
- Clusteranalyse: Ausreißer können eigene künstliche Cluster bilden und das Gesamtergebnis verzerren.
Wichtig ist: Ein multivariater Ausreißer muss kein Fehler sein. Er kann auf einen Dateneingabefehler hinweisen, aber auch auf eine echte, inhaltlich bedeutsame Beobachtung. Deshalb sollte man Ausreißer nie automatisch entfernen, sondern immer zunächst inhaltlich prüfen.
Praxisbeispiel zu multivariaten Ausreißern
Eine Forscherin untersucht den Zusammenhang zwischen täglicher Lernzeit (in Stunden) und Prüfungsergebnis (in Punkten) bei 150 Studierenden. Sie berechnet für jede Person die Mahalanobis-Distanz und stellt die Ergebnisse tabellarisch dar:
| Person | Lernzeit (h/Tag) | Prüfungspunkte | Mahalanobis-Distanz | Auffällig? |
|---|---|---|---|---|
| A | 3,0 | 72 | 0,8 | Nein |
| B | 6,5 | 91 | 1,9 | Nein |
| C | 7,0 | 34 | 14,3 | Ja |
| D | 1,0 | 88 | 12,7 | Ja |
Person C lernt sehr viel (7 Stunden täglich), erzielt aber nur 34 Punkte – eine für den Datensatz untypische Kombination. Person D hingegen lernt kaum (1 Stunde), erreicht aber 88 Punkte. Beide Werte sind für sich allein nicht zwingend extrem, doch im Zusammenspiel widersprechen sie dem Muster der übrigen Daten deutlich. Die hohe Mahalanobis-Distanz signalisiert: Hier lohnt sich ein genauerer Blick.
mahalanobis() zur Verfügung. Anschließend vergleicht man die berechneten Werte mit dem kritischen Chi-Quadrat-Wert für die entsprechende Anzahl an Variablen.
