Negativ-Binomial-Regression
In diesem Beitrag
Was versteht man unter Negativ-Binomial-Regression?
Die Negativ-Binomial-Regression ist ein statistisches Regressionsmodell für Zähldaten – also für abhängige Variablen, die nicht-negative ganzzahlige Werte annehmen (0, 1, 2, 3, …). Typische Beispiele sind die Anzahl von Arztbesuchen, Unfällen, Publikationen oder Reklamationen innerhalb eines bestimmten Zeitraums.
Sie ist eine Erweiterung der Poisson-Regression und setzt eine negativ-binomialverteilte Zielvariable voraus. Während die Poisson-Verteilung verlangt, dass Mittelwert und Varianz gleich groß sind (Equidispersion), erlaubt die Negativ-Binomial-Verteilung, dass die Varianz größer ist als der Mittelwert. Dieses Phänomen nennt man Überdispersion (englisch: overdispersion).
Formal lässt sich die Varianz der Negativ-Binomial-Verteilung wie folgt beschreiben:
Varianzstruktur der Negativ-Binomial-Verteilung
Dabei ist der Erwartungswert und der Dispersionsparameter (auch shape parameter genannt). Je größer , desto ausgeprägter die Überdispersion. Für nähert sich das Modell der Poisson-Regression an.
Wie bei der Poisson-Regression wird ein Log-Link verwendet, sodass der Erwartungswert als Exponentialfunktion der linearen Prädiktoren modelliert wird:
Linkfunktion
Warum ist Negativ-Binomial-Regression für statistische Analysen wichtig?
In der Praxis zeigen Zähldaten sehr häufig Überdispersion. Wird trotzdem eine Poisson-Regression verwendet, sind die Standardfehler der Koeffizienten systematisch zu klein. Das führt zu übertrieben kleinen p-Werten und einem erhöhten Risiko, falsch-positive Ergebnisse zu erhalten (Typ-I-Fehler).
Die Negativ-Binomial-Regression löst dieses Problem, indem sie die Überdispersion explizit modelliert. Sie ist daher das bevorzugte Modell, wenn:
- die Zielvariable ganzzahlige Häufigkeiten enthält,
- die Varianz der Daten den Mittelwert deutlich übersteigt,
- Ausreißer mit sehr hohen Zählwerten vorhanden sind.
Eine wichtige Entscheidung ist außerdem der Umgang mit sogenannten Zero-Inflation: Wenn die Daten unverhältnismäßig viele Nullen enthalten (z. B. weil viele Personen grundsätzlich nie einen Arzt aufsuchen), reicht auch die Negativ-Binomial-Regression nicht aus. In diesem Fall sind Zero-Inflated Negative Binomial (ZINB) Modelle besser geeignet.
glm.nb() aus dem Paket MASS zur Verfügung, in Stata der Befehl nbreg und in Python die Klasse NegativeBinomial aus dem Paket statsmodels. Praxisbeispiel zu Negativ-Binomial-Regression
Eine Forscherin untersucht, wie viele Fehltage Beschäftigte pro Jahr haben, und möchte wissen, ob Faktoren wie Alter, Geschlecht und Jobanforderungen die Anzahl der Fehltage vorhersagen.
Zunächst prüft sie die Verteilung der Zielvariable. Das Ergebnis:
| Kennwert | Wert |
|---|---|
| Mittelwert | 4,2 |
| Varianz | 31,7 |
| Minimum | 0 |
| Maximum | 87 |
Die Varianz (31,7) ist fast achtmal so groß wie der Mittelwert (4,2) – ein klares Indiz für Überdispersion. Eine Poisson-Regression wäre hier unangemessen. Die Forscherin entscheidet sich für die Negativ-Binomial-Regression.
Das geschätzte Modell ergibt zum Beispiel, dass ein höheres Alter mit einem signifikant höheren Incidence Rate Ratio (IRR) von 1,03 verbunden ist (p = .012). Das bedeutet: Pro zusätzlichem Lebensjahr steigt die erwartete Anzahl der Fehltage um ca. 3 %, unter Kontrolle der anderen Variablen.
Die Koeffizienten der Negativ-Binomial-Regression werden üblicherweise als logarithmierte Ratenquotienten berichtet und lassen sich durch Exponentiation in gut interpretierbare IRRs umrechnen.
