Normalverteilung
In diesem Beitrag
Was versteht man unter Normalverteilung?
Die Normalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch ihre charakteristische glockenförmige, symmetrische Kurve beschrieben wird. Sie ist vollständig durch zwei Parameter definiert: den Erwartungswert μ (Mittelwert), der die Lage des Gipfels der Kurve bestimmt, und die Standardabweichung σ, die die Breite der Glocke festlegt. Eine normalverteilte Zufallsvariable X wird kurz geschrieben als:
Schreibweise der Normalverteilung
Die zugehörige Dichtefunktion beschreibt, wie wahrscheinlich bestimmte Werte sind:
Dichtefunktion der Normalverteilung
Ein wichtiges Merkmal der Normalverteilung ist die sogenannte 68-95-99,7-Regel: Etwa 68 % aller Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, rund 95 % innerhalb von zwei und fast alle Werte (99,7 %) innerhalb von drei Standardabweichungen.
Warum ist die Normalverteilung für statistische Analysen wichtig?
Die Normalverteilung spielt eine zentrale Rolle in der Statistik aus mehreren Gründen:
- Viele natürliche Phänomene folgen annähernd einer Normalverteilung – beispielsweise Körpergröße, Messfehler oder Testergebnisse in großen Gruppen.
- Grundlage vieler statistischer Tests: Verfahren wie der t-Test, die Varianzanalyse (ANOVA) oder die lineare Regression setzen voraus, dass die Daten (oder die Residuen) normalverteilt sind. Wird diese Voraussetzung verletzt, können die Ergebnisse verzerrt sein.
- Zentraler Grenzwertsatz: Selbst wenn die Grundgesamtheit nicht normalverteilt ist, nähert sich die Verteilung des Stichprobenmittelwerts bei ausreichend großen Stichproben einer Normalverteilung an. Das macht viele statistische Verfahren auch in der Praxis robust anwendbar.
- Standardnormalverteilung: Durch Standardisierung (z-Transformation) lässt sich jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung mit μ = 0 und σ = 1 überführen, was den Vergleich zwischen verschiedenen Datensätzen erleichtert.
Praxisbeispiel zu Normalverteilung
Angenommen, du untersuchst die Körpergröße von 500 erwachsenen Frauen in Deutschland. Nach der Datenerhebung berechnest du einen Mittelwert von μ = 166 cm und eine Standardabweichung von σ = 6 cm. Aus deinem Q-Q-Plot und dem Shapiro-Wilk-Test geht hervor, dass die Daten gut einer Normalverteilung folgen.
Dank der 68-95-99,7-Regel kannst du nun direkt folgende Aussagen treffen:
| Bereich | Körpergröße (cm) | Erwarteter Anteil |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | 160 – 172 cm | ca. 68 % |
| μ ± 2σ | 154 – 178 cm | ca. 95 % |
| μ ± 3σ | 148 – 184 cm | ca. 99,7 % |
Möchtest du nun wissen, wie wahrscheinlich es ist, eine Frau zu messen, die größer als 178 cm ist, kannst du den Wert standardisieren: . Ein z-Wert von 2 bedeutet, dass 178 cm genau zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert liegt. Aus der Standardnormalverteilung liest du ab, dass ca. 2,3 % der Frauen größer als 178 cm sind.
