Normalverteilungsannahme
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Was versteht man unter der Normalverteilungsannahme?
Die Normalverteilungsannahme ist eine Voraussetzung vieler statistischer Verfahren. Sie besagt, dass die untersuchten Daten – oder genauer: die Residuen bzw. die zugrundeliegende Population – einer Normalverteilung folgen. Eine Normalverteilung ist eine glockenförmige, symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung, die vollständig durch zwei Parameter beschrieben wird: den Mittelwert und die Standardabweichung .
Dichtefunktion der Normalverteilung
Dabei gilt: Etwa 68 % aller Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, rund 95 % innerhalb von zwei Standardabweichungen und etwa 99,7 % innerhalb von drei. Diese Eigenschaft wird auch als 68-95-99,7-Regel bezeichnet.
Wichtig: Bei vielen Verfahren – zum Beispiel der linearen Regression – muss nicht die Variable selbst normalverteilt sein, sondern die Residuen, also die Abweichungen zwischen den vorhergesagten und den tatsächlich beobachteten Werten.
Warum ist die Normalverteilungsannahme für statistische Analysen wichtig?
Zahlreiche klassische statistische Verfahren setzen Normalverteilung voraus oder arbeiten unter dieser Annahme besonders zuverlässig. Dazu gehören unter anderem:
- t-Tests (Einstichproben-, Zweistichproben- und Paired-Samples-t-Test)
- Varianzanalyse (ANOVA)
- Lineare Regression (Normalverteilung der Residuen)
- Pearson-Korrelation
Ist die Annahme verletzt, können Signifikanztests unzuverlässige Ergebnisse liefern – zum Beispiel zu viele falsch-positive oder falsch-negative Befunde. Allerdings gilt: Bei großen Stichproben greift der Zentrale Grenzwertsatz. Er besagt, dass die Stichprobenmittelwerte auch dann annähernd normalverteilt sind, wenn die Rohdaten es nicht sind. Viele parametrische Verfahren sind daher bei großen Stichproben relativ robust gegenüber Verletzungen dieser Annahme.
Ist die Normalverteilungsannahme klar verletzt und die Stichprobe klein, sollte auf nicht-parametrische Alternativen zurückgegriffen werden – z. B. den Mann-Whitney-U-Test statt des t-Tests oder den Kruskal-Wallis-Test statt der ANOVA.
Praxisbeispiel zur Normalverteilungsannahme
Eine Studierende untersucht in ihrer Bachelorarbeit, ob sich die Prüfungsergebnisse von zwei Lerngruppen unterscheiden. Sie möchte dafür einen unabhängigen t-Test verwenden. Bevor sie das tut, prüft sie die Normalverteilungsannahme für beide Gruppen.
| Gruppe | n | Shapiro-Wilk p-Wert | Q-Q-Plot | Bewertung |
|---|---|---|---|---|
| Gruppe A | 28 | .312 | Punkte nahe der Linie | Annahme plausibel |
| Gruppe B | 31 | .041 | Deutliche Abweichungen | Annahme fraglich |
Da Gruppe B sowohl im Shapiro-Wilk-Test (p < .05) als auch im Q-Q-Plot auffällige Abweichungen zeigt und die Stichprobe mit n = 31 eher klein ist, entscheidet sich die Studierende gegen den t-Test. Stattdessen verwendet sie den Mann-Whitney-U-Test als nicht-parametrische Alternative – eine methodisch gut begründete Entscheidung.
