Poisson-Regression
In diesem Beitrag
Was versteht man unter Poisson-Regression?
Die Poisson-Regression ist ein Verfahren der verallgemeinerten linearen Modelle (Generalized Linear Models, GLM), das verwendet wird, wenn die abhängige Variable aus Zähldaten besteht – also nicht-negative, ganzzahlige Werte wie die Anzahl von Ereignissen in einem bestimmten Zeitraum oder Gebiet.
Grundlage ist die Annahme, dass die Zielvariable Y einer Poisson-Verteilung folgt. Das Modell verknüpft die erwartete Ereignisanzahl mit den Prädiktoren über den natürlichen Logarithmus als Linkfunktion:
Modellgleichung
Dabei sind die Regressionskoeffizienten und die unabhängigen Variablen. Durch die Log-Linkfunktion wird sichergestellt, dass der vorhergesagte Erwartungswert stets positiv bleibt – was bei Zählgrößen zwingend erforderlich ist. Die Koeffizienten lassen sich durch Exponentiation als Ratenverhältnisse (Incidence Rate Ratios, IRR) interpretieren: Ein IRR von 1,3 bedeutet, dass die erwartete Ereignisanzahl um 30 % steigt, wenn sich der entsprechende Prädiktor um eine Einheit erhöht.
Warum ist Poisson-Regression für statistische Analysen wichtig?
Viele Forschungsfragen in Medizin, Sozialwissenschaften, Ökologie oder Wirtschaft betreffen Zählereignisse: Krankenhauseinweisungen, Unfälle, Publikationen, Reklamationen. Eine klassische lineare Regression ist für solche Daten ungeeignet, weil sie negative oder nicht-ganzzahlige Vorhersagen erzeugen kann und die Residuen systematisch verzerrt sind. Die Poisson-Regression löst dieses Problem durch ein passendes Verteilungsmodell.
Ein zentrales Merkmal der Poisson-Verteilung ist die Equidispersion: Erwartungswert und Varianz sind gleich (). In der Praxis ist diese Annahme jedoch häufig verletzt – die Daten zeigen dann mehr Streuung als erwartet (Überdispersion) oder seltener weniger Streuung (Unterdispersion).
Darüber hinaus erlaubt die Poisson-Regression die Einbeziehung eines sogenannten Offsets: Werden Ereignisse in unterschiedlich langen Zeiträumen oder unterschiedlich großen Gebieten gezählt, lässt sich dieser Unterschied durch einen festen Logarithmus-Term im Modell ausgleichen – etwa die Personenanzahl einer Gruppe oder die Beobachtungszeit.
Praxisbeispiel zu Poisson-Regression
Eine Forscherin möchte untersuchen, ob das Geschlecht und die Anzahl der Arbeitsjahre die Zahl der Krankheitstage pro Jahr beeinflusst. Sie hat Daten von 200 Beschäftigten erhoben.
| Prädiktor | Koeffizient β | IRR (exp(β)) | p-Wert |
|---|---|---|---|
| Konstante | 1,79 | 5,99 | < .001 |
| Geschlecht (weiblich = 1) | 0,18 | 1,20 | .032 |
| Arbeitsjahre | −0,04 | 0,96 | .018 |
Interpretation: Der IRR für das Geschlecht beträgt 1,20. Das bedeutet: Weibliche Beschäftigte haben im Durchschnitt eine um 20 % höhere erwartete Zahl an Krankheitstagen als männliche Beschäftigte – unter Kontrolle der Arbeitsjahre. Der IRR für Arbeitsjahre beträgt 0,96: Mit jedem zusätzlichen Arbeitsjahr sinkt die erwartete Anzahl an Krankheitstagen um etwa 4 %. Beide Effekte sind statistisch signifikant.
