Poisson-Verteilung
In diesem Beitrag
Was versteht man unter der Poisson-Verteilung?
Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit innerhalb eines festen Zeitraums, einer bestimmten Fläche oder eines anderen definierten Beobachtungsrahmens genau k Ereignisse auftreten – vorausgesetzt, diese Ereignisse treten zufällig, unabhängig voneinander und mit einer konstanten mittleren Rate auf.
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Ereignisse eintreten, berechnet sich nach der Formel:
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung
Dabei ist der Parameter der Verteilung und entspricht gleichzeitig dem Erwartungswert (mittlere Anzahl der Ereignisse) und der Varianz. bezeichnet die Basis des natürlichen Logarithmus (ca. 2,718) und die Fakultät von k.
Damit die Poisson-Verteilung angewendet werden darf, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
- Die Ereignisse treten unabhängig voneinander auf.
- Die mittlere Ereignisrate ist über den Beobachtungszeitraum konstant.
- Es können keine zwei Ereignisse gleichzeitig eintreten (Einzelereignisse).
- Die Ereignisse sind diskret und zählbar.
Warum ist die Poisson-Verteilung für statistische Analysen wichtig?
Die Poisson-Verteilung ist immer dann das richtige Werkzeug, wenn du Zähldaten analysierst – also Daten, die angeben, wie oft etwas innerhalb eines bestimmten Rahmens passiert. Typische Anwendungsgebiete sind:
- Anzahl der Notaufnahmen in einem Krankenhaus pro Schicht
- Fehleranzahl auf einer Produktionslinie pro Stunde
- Anzahl eingehender Anrufe in einem Callcenter pro Minute
- Häufigkeit von Todesfällen durch seltene Krankheiten in einer Population
In der Regressionsanalyse bildet die Poisson-Verteilung die Grundlage der Poisson-Regression, einem Spezialfall der generalisierten linearen Modelle (GLM). Diese Methode wird eingesetzt, wenn die abhängige Variable eine Zählvariable ist, zum Beispiel die Anzahl von Unfällen, Publikationen oder Arztbesuchen.
Praxisbeispiel zu Poisson-Verteilung
Eine Forscherin untersucht, wie viele Verkehrsunfälle sich an einem bestimmten Kreuzungspunkt pro Woche ereignen. Aus den Daten der vergangenen zwei Jahre ergibt sich ein Durchschnitt von 2 Unfällen pro Woche. Sie möchte wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass in der nächsten Woche genau 0, 1, 2, 3 oder 4 Unfälle auftreten.
Mit berechnet sie für jeden Wert von k die entsprechende Wahrscheinlichkeit:
| Anzahl Unfälle (k) | Wahrscheinlichkeit P(X = k) | Interpretation |
|---|---|---|
| 0 | ca. 13,5 % | Keine Unfälle – möglich, aber nicht die Norm |
| 1 | ca. 27,1 % | Ein Unfall – häufigster Wert neben 2 |
| 2 | ca. 27,1 % | Zwei Unfälle – entspricht dem Erwartungswert |
| 3 | ca. 18,0 % | Drei Unfälle – noch recht wahrscheinlich |
| 4 | ca. 9,0 % | Vier Unfälle – schon deutlich seltener |
Die Tabelle zeigt das typische Bild einer Poisson-Verteilung: Die Wahrscheinlichkeit ist rund um den Erwartungswert am höchsten und fällt zu den Rändern hin ab. Bei kleinem ist die Verteilung rechtsschief; mit wachsendem nähert sie sich zunehmend einer Normalverteilung an.
