Probit-Modell
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Was versteht man unter dem Probit-Modell?
Das Probit-Modell ist ein statistisches Regressionsverfahren für binäre abhängige Variablen – also Variablen, die nur zwei Ausprägungen annehmen können, zum Beispiel „Ja / Nein“ oder „Ereignis eingetreten / nicht eingetreten“. Es modelliert die Wahrscheinlichkeit, dass das interessierende Ereignis eintritt, in Abhängigkeit von einer oder mehreren erklärenden Variablen.
Formal schreibt man das Probit-Modell als:
Probit-Modell (Grundform)
Dabei ist die Standardnormalverteilungsfunktion (auch bezeichnet als Φ), ist der Vektor der erklärenden Variablen und sind die zu schätzenden Koeffizienten. Die Verknüpfungsfunktion zwischen linearem Prediktor und Wahrscheinlichkeit ist also die kumulative Normalverteilung.
Die Koeffizienten werden nicht über die Methode der kleinsten Quadrate (OLS), sondern über Maximum-Likelihood-Schätzung bestimmt.
Warum ist das Probit-Modell für statistische Analysen wichtig?
Überall in der empirischen Forschung gibt es Ergebnisse, die binär sind: Kaufentscheidungen, Krankheitsdiagnosen, Wahlergebnisse, Studienabbrüche. Für solche Fragestellungen ist eine klassische lineare Regression ungeeignet, weil sie keine gültigen Wahrscheinlichkeiten garantiert und die Residuen systematisch verzerrt sind.
Das Probit-Modell gehört zur Familie der generalisierten linearen Modelle (GLM) und ist – zusammen mit dem Logit-Modell – das Standardwerkzeug für diese Situationen. Der Hauptunterschied zum Logit-Modell liegt in der verwendeten Verknüpfungsfunktion: Das Probit-Modell nutzt die Normalverteilung, das Logit-Modell die logistische Verteilung. In der Praxis liefern beide Modelle sehr ähnliche Ergebnisse.
Ein typischer Fehler besteht darin, die Probit-Koeffizienten wie OLS-Koeffizienten zu interpretieren und zu sagen: „Ein Anstieg von X um eine Einheit erhöht die Wahrscheinlichkeit um β.“ Das stimmt so nicht. Die Interpretation ist nichtlinear und hängt vom Ausgangswert der anderen Variablen ab.
Praxisbeispiel zum Probit-Modell
Eine Bildungsforscherin untersucht, welche Faktoren die Wahrscheinlichkeit beeinflussen, dass Schülerinnen und Schüler nach der Schule ein Studium aufnehmen (1 = Ja, 0 = Nein). Als erklärende Variablen nutzt sie den Abiturdurchschnitt, das monatliche Haushaltseinkommen und das Bildungsniveau der Eltern.
Sie schätzt ein Probit-Modell und erhält unter anderem folgendes Ergebnis:
| Variable | Koeffizient (β) | Marginaler Effekt (AME) | p-Wert |
|---|---|---|---|
| Abiturdurchschnitt (besser = niedriger) | −0,42 | −0,14 | 0,003 |
| Haushaltseinkommen (in 1.000 €) | 0,31 | +0,10 | 0,011 |
| Eltern mit Hochschulabschluss (Ja = 1) | 0,58 | +0,19 | <0,001 |
Die Forscherin interpretiert nicht den Koeffizienten direkt, sondern den marginalen Effekt: Schülerinnen und Schüler, deren Eltern einen Hochschulabschluss haben, nehmen im Durchschnitt mit einer um 19 Prozentpunkte höheren Wahrscheinlichkeit ein Studium auf – unter sonst gleichen Bedingungen. Das ist eine klare, inhaltlich verständliche Aussage.
