Q-Q-Plot
In diesem Beitrag
Was versteht man unter einem Q-Q-Plot?
Ein Q-Q-Plot (Quantile-Quantile-Plot) ist ein grafisches Werkzeug, das die Quantile einer empirischen Datenverteilung gegen die Quantile einer theoretischen Referenzverteilung – meistens der Standardnormalverteilung – abträgt. Jeder Punkt im Diagramm entspricht einem bestimmten Quantil: Auf der x-Achse liegt der theoretisch erwartete Wert, auf der y-Achse der tatsächlich beobachtete Wert.
Folgen die Daten der angenommenen Referenzverteilung, liegen alle Punkte näherungsweise auf einer geraden Diagonalen. Systematische Abweichungen von dieser Linie – wie S-Kurven, gebogene Enden oder Ausreißer – deuten darauf hin, dass die Daten nicht der angenommenen Verteilung entsprechen.
Warum ist der Q-Q-Plot für statistische Analysen wichtig?
Viele statistische Verfahren – darunter der t-Test, die einfaktorielle ANOVA oder die lineare Regression – setzen voraus, dass die Daten (bzw. die Residuen) annähernd normalverteilt sind. Der Q-Q-Plot ist eine der effektivsten und am häufigsten genutzten Methoden, um diese Normalverteilungsannahme visuell zu prüfen.
Im Vergleich zu rein formalen Tests wie dem Shapiro-Wilk-Test oder dem Kolmogorov-Smirnov-Test bietet der Q-Q-Plot einen wichtigen Vorteil: Er zeigt nicht nur ob eine Abweichung vorliegt, sondern auch wo und wie sie aufgetreten ist. So lassen sich typische Verteilungseigenschaften direkt ablesen:
- Punkte auf der Diagonalen: Die Daten sind gut normalverteilt.
- S-förmige Kurve: Die Verteilung hat schwerere oder leichtere Ränder als die Normalverteilung (Kurtosis-Abweichung).
- Gebogene Kurve (konkav/konvex): Die Verteilung ist schief (Schiefe nach rechts oder links).
- Einzelne weit abweichende Punkte: Mögliche Ausreißer in den Daten.
Praxisbeispiel zu Q-Q-Plot
Eine Forscherin untersucht, ob die Reaktionszeiten von 80 Versuchspersonen bei einem kognitiven Test normalverteilt sind – eine Voraussetzung für den geplanten t-Test. Sie erstellt einen Q-Q-Plot der Rohdaten in SPSS und beobachtet folgendes Muster:
| Beobachtetes Muster | Interpretation | Konsequenz |
|---|---|---|
| Punkte liegen nah an der Diagonalen | Daten gut normalverteilt | t-Test kann durchgeführt werden |
| Oberes Ende biegt nach oben ab | Rechtsschiefe Verteilung (lange rechte Flanke) | Transformation (z. B. Logarithmus) oder nicht-parametrischer Test prüfen |
| Einzelne Punkte weit außen | Mögliche Ausreißer | Ausreißer identifizieren und gesondert behandeln |
Im konkreten Fall zeigt der Q-Q-Plot, dass die meisten Punkte gut auf der Diagonalen liegen, aber zwei Punkte am oberen Ende stark abweichen. Die Forscherin identifiziert diese als Ausreißer (ungewöhnlich langsame Reaktionszeiten), schließt sie begründet aus der Analyse aus und bestätigt anschließend mit einem erneuten Q-Q-Plot sowie dem Shapiro-Wilk-Test die Normalverteilungsannahme. Der t-Test kann damit zulässig angewendet werden.
