Quantilsregression
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Was versteht man unter Quantilsregression?
Die Quantilsregression ist ein Regressionsverfahren, das nicht den Mittelwert einer abhängigen Variable modelliert, sondern beliebige Quantile ihrer bedingten Verteilung. Sie wurde 1978 von Roger Koenker und Gilbert Bassett eingeführt und erweitert die klassische lineare Regression erheblich.
Während die gewöhnliche kleinste-Quadrate-Regression (OLS) die folgende Verlustfunktion minimiert:
OLS-Zielfunktion
minimiert die Quantilsregression für ein gegebenes Quantil eine asymmetrische Verlustfunktion, die sogenannte Check-Funktion (auch Pinball-Loss):
Quantilsregressions-Zielfunktion
Dabei gilt: Für Residuen oberhalb null werden sie mit gewichtet, Residuen unterhalb null mit . Je nach Wahl von verschiebt sich der Fokus auf unterschiedliche Bereiche der Verteilung. Für erhält man die Regression auf den Median.
Warum ist Quantilsregression für statistische Analysen wichtig?
Die klassische lineare Regression liefert nur ein einziges Bild: das Verhalten im Mittel. In vielen Forschungsfragen ist das jedoch zu wenig. Die Quantilsregression erlaubt eine vollständige Beschreibung des bedingten Zusammenhangs über die gesamte Verteilung hinweg.
Konkrete Vorteile im Überblick:
- Robustheit gegenüber Ausreißern: Da nicht der Mittelwert, sondern ein Quantil geschätzt wird, haben extreme Werte deutlich weniger Einfluss auf die Ergebnisse.
- Keine Normalverteilungsannahme nötig: Die Quantilsregression macht keine Annahmen über die Verteilung der Fehlerterme.
- Heterogene Effekte sichtbar machen: Ein Prädiktor kann in unteren Quantilen einen anderen Effekt haben als in oberen – das bleibt bei OLS verborgen.
- Geeignet für schiefe Verteilungen: Bei Einkommens-, Preis- oder Gesundheitsdaten, die oft stark rechtsschief sind, liefert die Quantilsregression aussagekräftigere Ergebnisse.
rq()), in Python mit statsmodels (QuantReg) und in Stata mit dem Befehl qreg. Praxisbeispiel zu Quantilsregression
Eine Bildungsforscherin untersucht, wie die Anzahl der Unterrichtsstunden pro Woche (X) den Testerfolg von Schülerinnen und Schülern (Y, Punkte von 0–100) beeinflusst. Sie schätzt Quantilsregressionen für das 10., 50. und 90. Quantil.
| Quantil | Koeffizient (Unterrichtsstunden) | Interpretation |
|---|---|---|
| 10. Quantil (τ = 0,10) | +0,8 Punkte | Schwächste Schüler profitieren kaum |
| 50. Quantil (τ = 0,50) | +2,1 Punkte | Mittlere Schüler profitieren moderat |
| 90. Quantil (τ = 0,90) | +4,3 Punkte | Stärkste Schüler profitieren deutlich |
Eine OLS-Regression hätte einen einzigen Durchschnittseffekt von etwa +2,4 Punkten je Unterrichtsstunde geliefert – und damit verborgen, dass der Effekt für leistungsschwache Schülerinnen und Schüler wesentlich geringer ist als für leistungsstarke. Dieses Wissen ist für pädagogische Fördermaßnahmen entscheidend.
