Statistik-Glossar

Scheffé-Test

Scheffé’s Test · Scheffé-Prozedur · Maximilian Fuchs · 24. April 2026 · 4 Min. Lesezeit

In diesem Beitrag

Was versteht man unter dem Scheffé-Test?
Warum ist der Scheffé-Test für statistische Analysen wichtig?
Praxisbeispiel

Was versteht man unter dem Scheffé-Test?

Der Scheffé-Test ist ein Post-hoc-Verfahren in der Varianzanalyse (ANOVA). Er wird eingesetzt, nachdem ein signifikanter F-Test gezeigt hat, dass sich mindestens zwei Gruppen unterscheiden – um dann gezielt zu prüfen, welche Gruppen sich konkret voneinander unterscheiden.

Das Besondere am Scheffé-Test ist sein Anwendungsbereich: Er erlaubt nicht nur den Vergleich einzelner Gruppenpaare, sondern auch den Test beliebiger linearer Kontraste – also jeder gewichteten Kombination von Gruppenmittelwerten. Ein linearer Kontrast hat dabei die Form:

Linearer Kontrast

$\psi = \sum_{j=1}^{k} c_j \bar{X}_j$

wobei $c_j$ die Gruppengewichte sind, für die gilt: $\sum_{j=1}^{k} c_j = 0$ . Der Scheffé-Test kontrolliert dabei das familywise error rate (FWER) – also die Wahrscheinlichkeit, unter allen gleichzeitig durchgeführten Tests mindestens einen fälschlicherweise als signifikant auszuweisen – auf dem gewählten Niveau (üblicherweise α = 0,05).

Die kritische Prüfgröße für einen Kontrast basiert auf dem F-Wert der ANOVA und der Anzahl der Gruppen k:

Kritischer Wert des Scheffé-Tests

$F_{\text{krit}} = (k - 1) \cdot F_{\alpha;\, k-1,\, N-k}$

Einfach erklärt: Stell dir vor, du vergleichst die Prüfungsleistungen von Studierenden aus vier verschiedenen Lerngruppen. Der ANOVA-Test sagt dir: „Irgendwo gibt es einen Unterschied.“ Der Scheffé-Test hilft dir dann herauszufinden, ob zum Beispiel Gruppe 1 schlechter abschneidet als der Durchschnitt aus Gruppe 2, 3 und 4 – oder ob Gruppe 1 und 2 zusammen sich von Gruppe 3 und 4 unterscheiden. Er ist also sehr flexibel, aber auch besonders vorsichtig, damit du nicht versehentlich etwas als Unterschied wertest, was keiner ist.

Warum ist der Scheffé-Test für statistische Analysen wichtig?

Wenn eine ANOVA ein signifikantes Ergebnis liefert, weiß man zunächst nur, dass sich irgendetwas unterscheidet. Um konkrete Aussagen über Gruppenunterschiede zu treffen, braucht man Post-hoc-Tests. Der Scheffé-Test ist hier aus mehreren Gründen relevant:

Maximale Flexibilität bei Kontrasten: Anders als viele andere Post-hoc-Tests (z. B. Tukey-HSD oder Bonferroni) erlaubt der Scheffé-Test auch komplexe Vergleiche, etwa Gruppen gegen Gruppenverbünde oder gewichtete Mittelwertkombinationen.
Konservative Fehlerkorrektur: Der Scheffé-Test gilt als besonders streng. Er hält das Signifikanzniveau zuverlässig ein, auch wenn sehr viele Kontraste getestet werden.
Robustheit bei ungleichen Gruppengrößen: Der Test funktioniert auch bei unterschiedlich großen Stichproben gut.

Häufiger Fehler: Wegen seiner Konservativität hat der Scheffé-Test eine geringere statistische Power als andere Post-hoc-Tests wie Tukey-HSD. Wer nur paarweise Gruppenvergleiche benötigt, sollte lieber einen weniger konservativen Test verwenden – ansonsten werden echte Unterschiede möglicherweise übersehen.

Gut zu wissen: Der Scheffé-Test setzt voraus, dass die Voraussetzungen der ANOVA erfüllt sind: Normalverteilung der Residuen, Varianzhomogenität (Homoskedastizität) und unabhängige Beobachtungen. Er ist entwickelt worden von dem amerikanischen Statistiker Henry Scheffé (1953).

Praxisbeispiel zu Scheffé-Test

Eine Ernährungswissenschaftlerin untersucht, ob drei verschiedene Diäten (Diät A, B und C) unterschiedliche Auswirkungen auf den Gewichtsverlust (in kg) nach 8 Wochen haben. Sie führt zunächst eine einfaktorielle ANOVA durch – das Ergebnis ist signifikant (p = 0,02). Um herauszufinden, welche Gruppen sich unterscheiden, wendet sie den Scheffé-Test an.

Tabelle 1. Mittlerer Gewichtsverlust nach Diätgruppe
Gruppe	n	Mittlerer Gewichtsverlust (kg)
Diät A	20	3,2
Diät B	20	5,8
Diät C	20	4,5

Der Scheffé-Test vergleicht nun alle paarweisen Kontraste:

Diät A vs. Diät B → signifikant (p = 0,03)
Diät A vs. Diät C → nicht signifikant (p = 0,18)
Diät B vs. Diät C → nicht signifikant (p = 0,09)

Zusätzlich möchte die Forscherin wissen, ob Diät A schlechter abschneidet als der Durchschnitt aus Diät B und C zusammen. Sie testet den Kontrast: Diät A vs. (0,5 · Diät B + 0,5 · Diät C) – ein komplexer Vergleich, den viele andere Post-hoc-Tests gar nicht erlauben. Der Scheffé-Test kann diesen Kontrast direkt prüfen und liefert hier ebenfalls ein signifikantes Ergebnis (p = 0,04).

Das Fazit: Diät B führt zu einem signifikant höheren Gewichtsverlust als Diät A, und Diät A ist auch schwächer als der kombinierte Mittelwert der anderen beiden Diäten.