Shapiro-Wilk-Test
In diesem Beitrag
Was versteht man unter dem Shapiro-Wilk-Test?
Der Shapiro-Wilk-Test ist ein statistischer Hypothesentest, der prüft, ob eine Stichprobe aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammt. Er wurde 1965 von Samuel Shapiro und Martin Wilk entwickelt und gilt bis heute als einer der leistungsfähigsten Tests für Normalverteilung, insbesondere bei kleinen bis mittelgroßen Stichproben.
Die Teststatistik W basiert auf dem Verhältnis zweier Schätzer der Varianz: Im Zähler steht eine gewichtete Summe der geordneten Stichprobenwerte, im Nenner die übliche Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert.
Teststatistik des Shapiro-Wilk-Tests
Dabei sind die der Größe nach geordneten Beobachtungen (Ordnungsstatistiken), die zugehörigen Koeffizienten, die aus der erwarteten Verteilung der Ordnungsstatistiken abgeleitet werden, und der Stichprobenmittelwert. Der Wert von W liegt stets zwischen 0 und 1.
Die Nullhypothese des Tests lautet: Die Daten sind normalverteilt. Ein signifikantes Ergebnis (p-Wert < Signifikanzniveau, meist 0,05) führt zur Ablehnung dieser Nullhypothese – die Daten weichen dann statistisch bedeutsam von der Normalverteilung ab.
Warum ist der Shapiro-Wilk-Test für statistische Analysen wichtig?
Viele gängige statistische Verfahren setzen Normalverteilung voraus – darunter der t-Test, die einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) oder die lineare Regression (bezogen auf die Residuen). Bevor man diese Verfahren anwendet, sollte man prüfen, ob diese Voraussetzung erfüllt ist. Der Shapiro-Wilk-Test ist dafür eines der meistgenutzten Werkzeuge.
Im Vergleich zu alternativen Tests wie dem Kolmogorov-Smirnov-Test oder dem Anderson-Darling-Test zeigt der Shapiro-Wilk-Test bei kleinen Stichproben (n < 50) besonders gute Teststärke – er erkennt Abweichungen von der Normalverteilung also zuverlässig.
Praxisbeispiel zum Shapiro-Wilk-Test
Eine Psychologiestudentin möchte prüfen, ob sich die Reaktionszeiten von zwei Gruppen (mit und ohne Schlafentzug) signifikant unterscheiden. Sie plant einen unabhängigen t-Test, der Normalverteilung in beiden Gruppen voraussetzt. Dafür erhebt sie jeweils 20 Messwerte und führt den Shapiro-Wilk-Test durch.
| Gruppe | n | W-Statistik | p-Wert | Interpretation |
|---|---|---|---|---|
| Ohne Schlafentzug | 20 | 0,961 | 0,573 | Normalverteilung nicht abgelehnt |
| Mit Schlafentzug | 20 | 0,887 | 0,024 | Normalverteilung abgelehnt (p < 0,05) |
Für die Gruppe ohne Schlafentzug ist der p-Wert mit 0,573 deutlich über 0,05 – die Normalverteilungsannahme wird beibehalten. Für die Gruppe mit Schlafentzug liegt der p-Wert bei 0,024 und damit unter dem Signifikanzniveau. Die Studentin lehnt hier die Nullhypothese der Normalverteilung ab.
Da eine der beiden Gruppen die Voraussetzung verletzt, sollte sie statt des t-Tests einen nicht-parametrischen Test wählen – in diesem Fall den Mann-Whitney-U-Test. Dieser kommt ohne Normalverteilungsannahme aus und ist für solche Situationen geeignet.
