Standardisierte Residuen
In diesem Beitrag
Was versteht man unter standardisierten Residuen?
Ein Residuum ist die Differenz zwischen einem beobachteten Wert und dem durch ein Modell vorhergesagten Wert. Es gibt also an, wie weit das Modell mit seiner Vorhersage daneben liegt. Standardisierte Residuen gehen einen Schritt weiter: Sie setzen dieses Residuum ins Verhältnis zu seiner Streuung und machen es damit vergleichbar.
Das standardisierte Residuum für eine Beobachtung i berechnet sich als:
Formel: Standardisiertes Residuum
Dabei ist das rohe Residuum (beobachteter minus vorhergesagter Wert) und die geschätzte Standardabweichung der Residuen. Das Ergebnis ist eine einheitenlose Zahl, die angibt, wie viele Standardabweichungen ein Residuum vom Wert null entfernt liegt.
Warum sind standardisierte Residuen für statistische Analysen wichtig?
Standardisierte Residuen sind ein zentrales Diagnosewerkzeug in der Regressionsanalyse und anderen statistischen Verfahren. Sie erfüllen mehrere wichtige Funktionen:
- Ausreißer erkennen: Beobachtungen mit standardisierten Residuen, deren Betrag größer als 2 oder 3 ist, gelten als potenzielle Ausreißer. Sie verdienen besondere Aufmerksamkeit, weil sie das Modell unverhältnismäßig stark beeinflussen können.
- Vergleichbarkeit herstellen: Da Residuen in der Einheit der abhängigen Variable gemessen werden, lassen sie sich ohne Standardisierung kaum zwischen verschiedenen Modellen oder Variablen vergleichen. Die Standardisierung löst dieses Problem.
- Modellvoraussetzungen prüfen: Durch die grafische Darstellung standardisierter Residuen – etwa in einem Residualplot oder einem Q-Q-Diagramm – lässt sich visuell prüfen, ob Annahmen wie Normalverteilung der Fehler, Homoskedastizität oder Linearität erfüllt sind.
Praxisbeispiel zu standardisierten Residuen
Eine Forscherin untersucht, ob die Lernzeit (in Stunden) die Prüfungsnote vorhersagt. Sie schätzt ein einfaches lineares Regressionsmodell und erhält für fünf Studierende folgende Werte:
| Person | Lernzeit (h) | Note (beobachtet) | Note (vorhergesagt) | Rohresiduum | Stand. Residuum |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 10 | 72 | 70 | +2 | +0,4 |
| B | 15 | 85 | 82 | +3 | +0,6 |
| C | 8 | 55 | 65 | −10 | −2,1 |
| D | 20 | 90 | 91 | −1 | −0,2 |
| E | 12 | 78 | 75 | +3 | +0,6 |
Person C fällt sofort auf: Das Rohresiduum von −10 wirkt zwar groß, aber erst das standardisierte Residuum von −2,1 macht deutlich, dass diese Abweichung mehr als zwei Standardabweichungen vom Nullpunkt entfernt liegt. Die Forscherin würde Person C nun genauer untersuchen – zum Beispiel, ob an diesem Tag besondere Umstände (Krankheit, Prüfungsangst) vorlagen, die das Ergebnis beeinflusst haben. Die anderen Personen liegen alle deutlich innerhalb des unauffälligen Bereichs zwischen −2 und +2.
