Stationarität

Was versteht man unter Stationarität?

Stationarität ist eine grundlegende Eigenschaft von Zeitreihen. Eine Zeitreihe gilt als schwach stationär (auch: kovarianzstationär), wenn drei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

• Der Erwartungswert ist konstant über die Zeit:
• Die Varianz ist endlich und konstant über die Zeit:
• Die Autokovarianz zwischen zwei Zeitpunkten hängt nur vom zeitlichen Abstand (Lag) ab, nicht von der absoluten Position in der Zeit:

Daneben existiert das strengere Konzept der starken Stationarität: Hier muss die gesamte gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zeitreihe zeitinvariant sein – nicht nur Mittelwert und Varianz. In der Praxis ist schwache Stationarität jedoch die deutlich gebräuchlichere Anforderung.

Warum ist Stationarität für statistische Analysen wichtig?

Viele klassische Zeitreihenmodelle – darunter AR-, MA- und ARMA-Modelle – setzen Stationarität voraus. Schätzt man solche Modelle auf einer nicht-stationären Zeitreihe, können die Ergebnisse schwer interpretierbar oder schlicht irreführend sein. Besonders bekannt ist das Problem der Scheinregression (englisch: spurious regression): Zwei völlig unabhängige, aber trendbehaftete Zeitreihen können eine hohe Korrelation aufweisen, obwohl keinerlei inhaltlicher Zusammenhang besteht.

In der Praxis weisen viele wirtschaftliche und sozialwissenschaftliche Zeitreihen keine Stationarität auf – etwa Aktienkurse, BIP-Daten oder Bevölkerungszahlen. Solche Reihen enthalten oft einen Trend oder eine sich verändernde Varianz. Häufige Transformationen, um Stationarität herzustellen, sind:

• Differenzenbildung: Man berechnet die Veränderungen von Periode zu Periode statt der absoluten Werte.
• Logarithmierung: Stabilisiert eine wachsende Varianz.
• Trendbereinigung: Ein geschätzter Trend wird aus der Reihe herausgerechnet.

Praxisbeispiel zu Stationarität

Angenommen, du analysierst die monatlichen Umsatzzahlen eines Online-Shops über drei Jahre hinweg. Die Rohdaten zeigen einen deutlich aufwärts gerichteten Trend – die Zeitreihe ist nicht stationär, da der Mittelwert systematisch ansteigt.

Um die Zeitreihe stationär zu machen, bildest du die erste Differenz: Statt des absoluten Umsatzes im Monat t verwendest du die monatliche Veränderung . Die transformierte Reihe schwankt nun ohne erkennbaren Trend um einen stabilen Mittelwert nahe null.

Der ADF-Test auf den Originaldaten liefert keinen Hinweis auf Stationarität (kein signifikanter p-Wert), während die differenzierte Reihe den Test besteht. Erst auf dieser transformierten Reihe lässt sich dann sinnvoll ein ARMA-Modell schätzen.