t-Test für abhängige Stichproben
In diesem Beitrag
Was versteht man unter dem t-Test für abhängige Stichproben?
Der t-Test für abhängige Stichproben (auch: Paarvergleichstest) ist ein statistisches Verfahren, mit dem man prüft, ob sich die Mittelwerte zweier verbundener Messreihen signifikant voneinander unterscheiden. „Verbunden“ bedeutet dabei, dass die Messwerte paarweise zusammengehören – entweder weil dieselbe Person zweimal gemessen wurde (Vorher-Nachher-Design) oder weil zwei Personen gezielt einander zugeordnet wurden (gematchte Paare).
Technisch gesehen berechnet man für jedes Messpaar die Differenz di und prüft dann, ob der Mittelwert dieser Differenzen signifikant von null abweicht. Die Prüfgröße lautet:
Prüfgröße des abhängigen t-Tests
Dabei ist d̄ der mittlere Differenzwert, sd die Standardabweichung der Differenzen und n die Anzahl der Paare. Der resultierende t-Wert wird anschließend mit dem kritischen Wert der t-Verteilung bei n − 1 Freiheitsgraden verglichen.
Voraussetzungen
- Die Messwerte sind intervall- oder verhältnisskaliert.
- Die Differenzen der Paare sind in der Population normalverteilt (bei großem n gilt der zentrale Grenzwertsatz).
- Die Paare sind unabhängig voneinander (die Differenz von Paar 1 beeinflusst nicht die Differenz von Paar 2).
Warum ist der t-Test für abhängige Stichproben wichtig?
Der entscheidende Vorteil gegenüber dem t-Test für unabhängige Stichproben liegt in der höheren statistischen Power: Weil individuelle Unterschiede zwischen den Personen (z. B. unterschiedliche Ausgangswerte) durch die Differenzbildung herausgerechnet werden, ist die Streuung der Testgröße geringer. Das bedeutet: Man kann kleinere Effekte mit weniger Personen nachweisen.
In der Praxis kommt der abhängige t-Test vor allem in folgenden Situationen zum Einsatz:
- Längsschnittstudien: Dieselben Probandinnen werden zu zwei Zeitpunkten gemessen (Vorher-Nachher-Vergleich).
- Crossover-Designs: Jede Person erhält beide Treatments in zufälliger Reihenfolge.
- Matching: Personen werden anhand relevanter Merkmale (z. B. Alter, Geschlecht) zu Paaren zusammengestellt.
Praxisbeispiel zu t-Test für abhängige Stichproben
Eine Ernährungswissenschaftlerin untersucht, ob ein achtwöchiges Ernährungsprogramm den Body-Mass-Index (BMI) verändert. Sie misst den BMI von sechs Teilnehmenden vor und nach dem Programm:
| Person | BMI vorher | BMI nachher | Differenz di |
|---|---|---|---|
| 1 | 28,4 | 26,9 | −1,5 |
| 2 | 31,0 | 29,5 | −1,5 |
| 3 | 25,2 | 24,8 | −0,4 |
| 4 | 29,7 | 27,8 | −1,9 |
| 5 | 33,1 | 31,4 | −1,7 |
| 6 | 27,5 | 26,8 | −0,7 |
Der mittlere Differenzwert beträgt d̄ = −1,28, die Standardabweichung der Differenzen sd ≈ 0,60. Einsetzen in die Formel ergibt:
Berechnung des t-Werts
Bei df = 5 Freiheitsgraden liegt der kritische t-Wert (zweiseitig, α = 0,05) bei etwa 2,571. Der berechnete t-Wert von −5,23 übersteigt diesen Betrag deutlich – das Ergebnis ist also statistisch signifikant. Die Ernährungswissenschaftlerin kann schlussfolgern, dass das Programm den BMI signifikant gesenkt hat.
