Verteilungsfunktion
In diesem Beitrag
Was versteht man unter Verteilungsfunktion?
Die Verteilungsfunktion (auch: kumulative Verteilungsfunktion) gibt für jeden Wert an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich annimmt. Formal ist sie definiert als:
Definition
Sie ist für alle reellen Zahlen definiert und besitzt folgende charakteristische Eigenschaften:
- Sie ist monoton nicht-fallend: Größere Werte von führen nie zu einem kleineren Funktionswert.
- Sie ist rechtsseitig stetig.
- Es gilt: und .
Je nachdem, ob die Zufallsvariable diskret oder stetig ist, ergibt sich die Verteilungsfunktion auf unterschiedliche Weise: Bei diskreten Variablen wird aufsummiert, bei stetigen Variablen integriert.
Warum ist die Verteilungsfunktion für statistische Analysen wichtig?
Die Verteilungsfunktion ist ein zentrales Werkzeug in der Statistik, weil sie die vollständige Wahrscheinlichkeitsstruktur einer Zufallsvariable beschreibt. Aus ihr lassen sich direkt Wahrscheinlichkeiten für beliebige Intervalle ablesen – etwa die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert zwischen zwei Grenzen liegt:
Wahrscheinlichkeit eines Intervalls
In der Praxis wird die Verteilungsfunktion unter anderem für folgende Zwecke genutzt:
- Hypothesentests: p-Werte berechnen sich direkt aus der Verteilungsfunktion der jeweiligen Teststatistik (z. B. t-, F- oder Chi-Quadrat-Verteilung).
- Konfidenzintervalle: Kritische Werte werden anhand der Verteilungsfunktion bestimmt.
- Quantile berechnen: Die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion liefert Quantile – zum Beispiel den Median oder das 95. Perzentil.
- Modellvergleiche: Mit dem Kolmogorov-Smirnov-Test lässt sich prüfen, ob empirische Daten einer bestimmten theoretischen Verteilungsfunktion folgen.
Praxisbeispiel zu Verteilungsfunktion
Eine Forscherin untersucht die Prüfungspunktzahlen von 200 Studierenden. Die Punkte seien annähernd normalverteilt mit einem Mittelwert von 60 Punkten und einer Standardabweichung von 10 Punkten.
Sie möchte wissen: Wie viele Studierende haben voraussichtlich höchstens 70 Punkte erreicht?
Dazu berechnet sie den z-Wert und liest die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ab:
z-Standardisierung
| Punktzahl | z-Wert | F(z) – Anteil der Studierenden |
|---|---|---|
| 50 Punkte | −1,00 | ≈ 15,9 % |
| 60 Punkte | 0,00 | ≈ 50,0 % |
| 70 Punkte | 1,00 | ≈ 84,1 % |
| 80 Punkte | 2,00 | ≈ 97,7 % |
Die Verteilungsfunktion liefert für den Wert . Das bedeutet: Rund 84 % der Studierenden – also etwa 168 von 200 – haben höchstens 70 Punkte erreicht. Die Wahrscheinlichkeit, mehr als 70 Punkte zu erzielen, beträgt entsprechend ca. 15,9 %.
pnorm(70, mean = 60, sd = 10) den Wert 0,841 zurück – ohne dass man z-Werte manuell berechnen muss.
