Wahrscheinlichkeitsdichte / Dichtefunktion
In diesem Beitrag
Was versteht man unter Wahrscheinlichkeitsdichte / Dichtefunktion?
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz: Dichtefunktion oder PDF) beschreibt die Verteilung einer stetig verteilten Zufallsvariable. Sie gibt an, wie dicht die Wahrscheinlichkeit in einem bestimmten Bereich der möglichen Werte verteilt ist.
Formal ist eine Funktion eine Dichtefunktion, wenn sie zwei Bedingungen erfüllt:
- Nichtnegativität: für alle
- Normierung: Das Integral über alle möglichen Werte ergibt 1.
Normierungsbedingung
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert in einem bestimmten Intervall annimmt, ergibt sich durch Integration der Dichtefunktion über dieses Intervall:
Wahrscheinlichkeit über ein Intervall
Ein wichtiger Unterschied zu diskreten Verteilungen: Bei stetigen Zufallsvariablen ist die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen, exakten Wert immer gleich null. Nur für Intervalle lassen sich sinnvolle Wahrscheinlichkeiten angeben.
Warum ist die Dichtefunktion für statistische Analysen wichtig?
Die Dichtefunktion ist ein grundlegendes Konzept der Statistik, weil viele Zufallsgrößen in der Praxis stetig sind – etwa Körpergröße, Messzeiten oder Testergebnisse. Für solche Variablen ist die Dichtefunktion das zentrale Werkzeug, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und Verteilungen zu beschreiben.
Bekannte Beispiele für Dichtefunktionen sind:
- Die Normalverteilung – die klassische Glockenkurve, die in vielen Bereichen auftritt.
- Die t-Verteilung – wichtig für Hypothesentests bei kleinen Stichproben.
- Die Chi-Quadrat-Verteilung – relevant für Anpassungstests und Varianzanalysen.
- Die Exponentialverteilung – häufig genutzt zur Modellierung von Wartezeiten.
Darüber hinaus bildet die Dichtefunktion die Grundlage für die Verteilungsfunktion (CDF), die kumulierte Wahrscheinlichkeiten beschreibt, sowie für statistische Kennzahlen wie Erwartungswert und Varianz.
Praxisbeispiel zu Wahrscheinlichkeitsdichte / Dichtefunktion
Angenommen, du untersuchst die Körpergröße erwachsener Frauen in Deutschland. Die Größen sind in der Bevölkerung annähernd normalverteilt mit einem Mittelwert von 166 cm und einer Standardabweichung von 6 cm.
Mithilfe der Dichtefunktion der Normalverteilung kannst du nun Fragen beantworten wie: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Frau zwischen 160 cm und 172 cm groß ist?
Die Antwort ergibt sich durch Integration der Normalverteilungs-Dichtefunktion über das Intervall [160, 172]. In der Praxis lässt sich das über Tabellen, statistische Software oder z-Standardisierung berechnen – das Ergebnis wäre hier rund 68 %, da das Intervall exakt eine Standardabweichung um den Mittelwert abdeckt.
| Intervall um den Mittelwert | Enthaltene Fläche (Wahrscheinlichkeit) |
|---|---|
| ± 1 Standardabweichung | ca. 68 % |
| ± 2 Standardabweichungen | ca. 95 % |
| ± 3 Standardabweichungen | ca. 99,7 % |
Dieses Prinzip – Wahrscheinlichkeiten als Flächen unter der Dichtefunktion zu verstehen – ist der Schlüssel zur korrekten Arbeit mit stetigen Verteilungen in der statistischen Praxis.
