White-Test
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Was versteht man unter dem White-Test?
Der White-Test ist ein statistischer Test zur Überprüfung von Heteroskedastizität in den Residuen einer linearen Regression. Heteroskedastizität liegt vor, wenn die Varianz der Fehlerterme nicht konstant über alle Beobachtungen ist – eine Verletzung einer zentralen Annahme der Kleinste-Quadrate-Schätzung (OLS). Der Test wurde 1980 von dem Ökonomen Halbert White entwickelt.
Das Verfahren funktioniert in drei Schritten:
- Zunächst wird das ursprüngliche Regressionsmodell geschätzt und die quadrierten Residuen berechnet.
- Diese quadrierten Residuen werden anschließend auf alle Regressoren, ihre quadrierten Werte sowie alle paarweisen Kreuzprodukte regressiert (Hilfsregression).
- Aus dem Bestimmtheitsmaß dieser Hilfsregression wird die Teststatistik berechnet:
Teststatistik des White-Tests
Dabei ist n die Stichprobengröße und das Bestimmtheitsmaß der Hilfsregression. Die Teststatistik folgt unter der Nullhypothese asymptotisch einer Chi-Quadrat-Verteilung mit k Freiheitsgraden, wobei k die Anzahl der Regressoren in der Hilfsregression (ohne Konstante) ist.
Die Nullhypothese lautet: Die Varianz der Fehler ist konstant (Homoskedastizität). Ein signifikantes Testergebnis – also ein p-Wert unterhalb des gewählten Signifikanzniveaus – spricht gegen die Nullhypothese und liefert Hinweise auf Heteroskedastizität.
Warum ist der White-Test für statistische Analysen wichtig?
Die OLS-Schätzung setzt voraus, dass die Residuen homoskedastisch sind – also eine konstante Varianz besitzen. Ist diese Annahme verletzt, sind die geschätzten Regressionskoeffizienten zwar noch unverzerrt, aber die Standardfehler werden falsch geschätzt. Das hat direkte Konsequenzen: t-Tests und F-Tests verlieren ihre Gültigkeit, Konfidenzintervalle sind unzuverlässig und Hypothesentests können zu falschen Schlüssen führen.
Ein besonderer Vorteil des White-Tests gegenüber älteren Alternativen wie dem Breusch-Pagan-Test ist seine Allgemeinheit: Er macht keine Annahmen über die konkrete Form der Heteroskedastizität. Er erkennt also auch nichtlineare Zusammenhänge zwischen den Regressoren und der Fehlervarianz.
Wird Heteroskedastizität festgestellt, gibt es mehrere Reaktionsmöglichkeiten: der Einsatz von robusten Standardfehlern (z. B. nach White), eine Variablentransformation (z. B. Logarithmierung) oder der Wechsel zu einem gewichteten Kleinstquadratverfahren (WLS).
Praxisbeispiel zum White-Test
Eine Forscherin untersucht in ihrer Masterarbeit, welche Faktoren das monatliche Nettoeinkommen von Beschäftigten erklären. Sie schätzt eine lineare Regression mit den Prädiktoren Berufserfahrung (in Jahren) und Bildungsabschluss (kodiert als Dummy-Variable). Anschließend führt sie den White-Test durch.
| Kennzahl | Wert |
|---|---|
| Stichprobengröße n | 150 |
| R² der Hilfsregression | 0,12 |
| Teststatistik (n · R²) | 18,0 |
| Freiheitsgrade k | 5 |
| p-Wert | 0,003 |
Die Teststatistik beträgt . Bei 5 Freiheitsgraden und einem p-Wert von 0,003 wird die Nullhypothese der Homoskedastizität auf dem 1%-Niveau abgelehnt. Die Forscherin entscheidet sich daraufhin, ihre Regressionsanalyse mit robusten Standardfehlern nach White zu wiederholen, um valide Inferenzaussagen treffen zu können. Zusätzlich erstellt sie einen Residuenplot, der die Befunde des Tests visuell bestätigt: Die Streuung der Residuen nimmt mit steigenden Einkommenswerten deutlich zu.
