z-Test
In diesem Beitrag
Was versteht man unter dem z-Test?
Der z-Test ist ein parametrischer Hypothesentest, mit dem geprüft wird, ob der Mittelwert einer Stichprobe signifikant von einem bekannten oder hypothetischen Populationsmittelwert abweicht. Er gehört zur Gruppe der Signifikanztests und basiert auf der Standardnormalverteilung.
Die Grundlage des Tests ist die sogenannte z-Statistik (auch Prüfgröße oder Teststatistik genannt). Sie gibt an, um wie viele Standardfehler der beobachtete Stichprobenmittelwert vom erwarteten Populationsmittelwert entfernt liegt:
Formel: z-Statistik
Dabei steht für den beobachteten Stichprobenmittelwert, für den hypothetischen Populationsmittelwert, für die bekannte Standardabweichung der Population und für den Stichprobenumfang.
Damit der z-Test zuverlässig funktioniert, müssen einige Voraussetzungen erfüllt sein:
- Die Daten stammen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit oder der Stichprobenumfang ist groß genug (Faustregel: ), sodass der zentrale Grenzwertsatz greift.
- Die Standardabweichung der Population () ist bekannt.
- Die Stichprobenziehung erfolgte zufällig und unabhängig.
Warum ist der z-Test für statistische Analysen wichtig?
Der z-Test ist einer der grundlegendsten Hypothesentests in der Statistik und bildet das konzeptionelle Fundament für viele weitere Testverfahren. Er erlaubt eine klare, formale Entscheidung darüber, ob ein beobachteter Effekt statistisch signifikant ist – also unwahrscheinlich genug, um nicht allein durch Zufall erklärbar zu sein.
In der Praxis wird der berechnete z-Wert mit einem kritischen Wert verglichen, der vom gewählten Signifikanzniveau (häufig ) abhängt. Alternativ lässt sich ein p-Wert berechnen, der direkt angibt, wie wahrscheinlich der beobachtete oder ein noch extremerer Unterschied unter der Nullhypothese wäre. Liegt der p-Wert unterhalb des Signifikanzniveaus, wird die Nullhypothese abgelehnt.
Der z-Test kann je nach Fragestellung in verschiedenen Varianten eingesetzt werden:
- Einstichproben-z-Test: Vergleich eines Stichprobenmittelwerts mit einem bekannten Populationswert.
- Zweistichproben-z-Test: Vergleich der Mittelwerte zweier unabhängiger Stichproben.
- z-Test für Anteile: Prüfung, ob ein beobachteter Anteil (z. B. Erfolgsquote) von einem Referenzwert abweicht.
Praxisbeispiel zum z-Test
Eine Psychologin möchte wissen, ob Studierende an ihrer Universität im Durchschnitt mehr Stunden pro Woche lernen als der bekannte nationale Durchschnitt von 20 Stunden. Aus früheren Großstudien ist bekannt, dass die Standardabweichung in der Population bei 5 Stunden liegt. Sie befragt eine zufällige Stichprobe von 64 Studierenden und erhält einen Stichprobenmittelwert von 22 Stunden.
| Kennwert | Wert |
|---|---|
| Stichprobenmittelwert | 22 Stunden |
| Populationsmittelwert | 20 Stunden |
| Populationsstandardabweichung | 5 Stunden |
| Stichprobenumfang | 64 |
Der z-Wert berechnet sich wie folgt:
Berechnung
Bei einem einseitigen Test und einem Signifikanzniveau von liegt der kritische z-Wert bei 1,645. Da der berechnete z-Wert von 3,2 diesen Wert deutlich überschreitet, wird die Nullhypothese abgelehnt. Die Psychologin kann schlussfolgern, dass die Studierenden ihrer Universität signifikant mehr lernen als der nationale Durchschnitt.
