Zwei-Stufen-Kleinste-Quadrate

Was versteht man unter Zwei-Stufen-Kleinste-Quadrate?

Die Zwei-Stufen-Kleinste-Quadrate-Schätzung (kurz: 2SLS) ist ein Schätzverfahren der Ökonometrie und Statistik, das eingesetzt wird, wenn in einem Regressionsmodell eine oder mehrere erklärende Variablen endogen sind – also mit dem Fehlerterm korrelieren. In diesem Fall liefert die gewöhnliche Methode der Kleinsten Quadrate (OLS) verzerrte und inkonsistente Schätzer.

Das Verfahren nutzt sogenannte Instrumentalvariablen (IV): Variablen, die zwar mit der endogenen Variable korrelieren, nicht aber direkt mit dem Fehlerterm zusammenhängen. Die Schätzung läuft in zwei aufeinanderfolgenden Stufen ab:

1. Erste Stufe: Die endogene erklärende Variable wird per OLS auf die Instrumentalvariablen (und alle übrigen exogenen Variablen) regressiert. Das Ergebnis sind die vorhergesagten Werte der endogenen Variable.
2. Zweite Stufe: Im ursprünglichen Strukturmodell werden die tatsächlichen Werte der endogenen Variable durch die vorhergesagten Werte aus Stufe 1 ersetzt. Anschließend wird erneut OLS angewendet.

Das Strukturmodell hat dabei die folgende allgemeine Form:

wobei die abhängige Variable, die endogene erklärende Variable, exogene Kontrollvariablen, die zu schätzenden Koeffizienten und den Fehlerterm bezeichnen.

Warum ist Zwei-Stufen-Kleinste-Quadrate für statistische Analysen wichtig?

Endogenität ist eines der häufigsten und folgenreichsten Probleme in empirischen Studien. Sie entsteht durch verschiedene Ursachen:

• Simultaneität: Ursache und Wirkung beeinflussen sich gegenseitig (z. B. Angebot und Preis).
• Omitted Variable Bias: Eine relevante Variable fehlt im Modell und korreliert sowohl mit der erklärenden als auch mit der abhängigen Variable.
• Messfehler: Eine erklärende Variable ist fehlerbehaftet gemessen.

Wird Endogenität ignoriert und stattdessen einfach OLS verwendet, sind die Koeffizienten verzerrt und inkonsistent – sie konvergieren auch bei wachsendem Stichprobenumfang nicht gegen den wahren Wert. 2SLS korrigiert diese Verzerrung, sofern geeignete Instrumente vorliegen, und liefert konsistente Schätzer.

Ein zentrales Qualitätsmerkmal von 2SLS ist die Güte der Instrumentalvariablen. Ein gutes Instrument muss zwei Bedingungen erfüllen:

• Relevanz: Das Instrument muss hinreichend stark mit der endogenen Variable korrelieren. Schwache Instrumente führen zu instabilen und verzerrten Schätzern – dieses Problem nennt sich Weak Instrument Problem.
• Exogenität (Ausschlussbedingung): Das Instrument darf ausschließlich über die endogene Variable auf die abhängige Variable wirken – nicht direkt.

Praxisbeispiel zu Zwei-Stufen-Kleinste-Quadrate

Eine Forscherin untersucht, ob mehr Polizeipräsenz die Kriminalitätsrate in Städten senkt. Sie regressiert die Kriminalitätsrate auf die Anzahl der Polizistinnen und Polizisten. Doch es liegt ein Simultaneitätsproblem vor: Städte mit hoher Kriminalität stellen in der Regel auch mehr Polizei ein. OLS würde daher fälschlicherweise einen positiven Zusammenhang zwischen Polizeianzahl und Kriminalität anzeigen.

Als Instrumentalvariable nutzt sie den lokalen Wahlterminkalender: In Wahljahren erhöhen Bürgermeister häufig die Polizeibudgets aus politischen Gründen – unabhängig von der aktuellen Kriminalitätslage. Das Instrument ist relevant (beeinflusst die Polizeistärke) und plausibel exogen (Wahltermine hängen nicht direkt von der Kriminalitätsrate ab).

In der ersten Stufe erklärt der Wahljahr-Dummy die Variation in der Polizeianzahl. In der zweiten Stufe wird die vorhergesagte – also um Endogenität bereinigte – Polizeianzahl verwendet, um den kausalen Effekt auf die Kriminalitätsrate zu schätzen. Das Ergebnis: 2SLS zeigt einen negativen Effekt (mehr Polizei, weniger Kriminalität), der mit OLS aufgrund der Verzerrung nicht sichtbar war.